CHAP. I. — MOUVEMENT D UN POINT MATERIEL
de la corde MQ (yî^. lo) qu'intercepte le cercle de courbure sur la direction de cette accélération.
En effet, l'accélération centripète — a aussi pour valeur
ycosç, d'où
' Rcos© MP |MQ
20. Application au mouvement d'un point qui se déplace sur une hélice quelconque avec ,une vitesse constante. — Supposons qu'un point M décrive une hélice d'un mouvement uniforme avec une vitesse constante V, prenons Oz parallèle aux génératrices du cylindre, et soient X, Y, Z les coordonnées de M, x^ y^ z celles de sa projection m sur le plan des xy, on aura, s étant l'arc d'hélice compté à partir de sa trace sur le plan xOy^
Z =zOy Z m K^.
Cherchons la vitesse v de m :
dx , I ^ds ^r , , V dy ^r , , , v dz
d'ailleurs
d'où
ds ) \ds ) \ds )
?'-(5)-hf-(5)+K2=:l
et
Donc le rapport des vitesses de M et m est constant et comme V est constant, ç le sera aussi.
Les accélérations de M et /n sont égales et parallèles, puisque
dV' "" dt' ' dt^ ~" dt^ ' dt^ "~ dt^ ~ ^''
elles sont aussi normales, puisque V et (^ sont constantes, on en conclut que la normale principale à l'hélice est normale au cylindre, ce que l'on pouvait prévoir, puisque l'hélice est une ligne géodésique.
L'accélération normale de M est -77- > celle de m est — :
or elles sont égales, on en déduit
ce qui montre que le rayon de courbure de l'hélice en un • point quelconque est proportionnel au rayon de courbure de, la section droite au point correspondant.
21. Projections de V accélération en coordonnées polaires dans le mouvement plan, — Nous ferons les projections comme pour la vitesse, suivant le rayon vecteur et une perpendiculaire à ce rayon, dans le sens des arcs croissants.
Pour avoir la première composante A, nous projetterons sur le rayon les deux composantes rectangulaires
et — ^,
dt^ dt^ '
CHAP. I. — MOUVEMENT D'uN POINT MATÉRIEL. 23
ce qui donne
__ ^ [ d / dx dy\ dx^ 4- dy-^
'^7\di\^'di'^y'ii) dt' J
~" /• ydt \ de) dÛ^ J
e/^* dt^
On trouve de même pour la seconde composante
d^x dry f, ^ f d^y d^^
= TT sin ô H — TT ces ô = - ^ — ~ — y , ^
\ d f dy dx
"" 7'dt\lÛ~^'di
r dt \ dt)
22. Projections de V accélération en coordonnées semi-polaires. — La projettion de l'accélération du
d^z point M sur O^ est toujours -tt* Quant aux projections
suivant le rayon vecteur Ont et sa perpendiculaire dans le plan xOy^ elles sont respectivement
car les projections de l'accélération de M sur ces deux directions sont celles de l'accélération de m.
