Des accélérations centrales
26. Moui^ement d^ un point dont la direction de U accélération passe par un point fixe. — Si Ton prend pour origine le point par lequel l'accélération passe constamment, on a les équations
dV^ dt' dt^
d'où
et en intégrant,
dz dy dx dz dy dx
-^ dt dt , dt dt ' dt ^ dt '
et, par suite,
ax -\- by -{- cz :=. o,
c'est-à-dire que la trajectoire est une courbe plane passant par le point fixe» Prenant ce plan pour plan des xy et exprimant que la composante de l'accélération suivant la perpendiculaire au rayon vecteur est nulle, on a l'équation
r dt\ dt
--T- 1 r« -r- IrrzO,
d'où
r' -7- ::= COnSt =: C \
dt '
CHAP. I. — MOUVEMENT d'uN POINT MATÉRIEL. 29
or A étant Taire décrite par le rayon vecteur, on a
r' <iô = 2 dPi. =: c dt, et en intégrant,
Donc les aires décrites par le rayon vecteur sont proportionnelles au temps.
La constante c est le double de la vitesse aréolaire ou de Paire décrite dans l'unité de temps; c'est aussi le moment de la vitesse^ c'est-àhdire le produit de la vitesse V à un instant quelconque, par sa distance /> à l'origine.
car V/? = —TT-y or p ds représente le double de l'aire décrite dans le temps dt ou c dt^ d'où Vp = c.
Enfin l'accélération étant centrale se réduit à sa composante suivant le rayon vecteur
d^r cfô
'" df" dt'' '
éliminons le temps à l'aide de l'équation
ûf8 c
vrAWk i
dt
vem<
dr
t;ni
dr d^ f/ô dt
C dr r^ d^
dl r
d}r dC'
d^ dt
dr-'
d'où l'expression de l'accélération, que l'on écrit ordinairement en la portant du mobile vers le point fixe pris
pour origine,
C'est \^ formule de Binet,
27. Mouvement d^ un point sur une ellipse, V accélération passant constamment par un foyer.
L'accélération étant centrale sera donnée par la formule de Binet; or, si l'on prend pour axe polaire la droite joignant le foyer au sommet le plus voisin de Tellipse, on a
c - 1 4- e ces 6' I H — cosO a
I i-f-ecos8 r ecos6 c*
r p dQ^ p * pr^
L'accélération est inversement proportionnelle au carré de la distance.
On peut mettre l'expression de l'accélération sous une autre forme, en introduisant le moyen mouvement n. T étant la durée de la révolution,
Tzab
c^r,'i:^^riab = na^s/^-e'
p=: — =za(i — e-)) — = n'a';
La valeur de l'accélération précédemment trouvée con-
