Généralités sur le mouvement des systèmes

29. Un système de points étant en mouvement relativement au trièdre invariable de trois axes mobiles AX, AY, AZ, le mouvement absolu du système sera connu si celui de ce trièdre est défini par rapport à trois axes fixes O^, Oy^ Oz. Car, supposons qu'on puisse connaître à chaque instant les coordonnées a, 6, c du point mobile A, et les neuf cosinus directeurs a, P, y, a', g', y'? a'^j P^'? "/' des axes X,Y, Zpar rapport au système rectangulaire Oxyz, la position d'un point M ayant pour coordonnées X,Y, Z, dans le système mobile sera donnée au moyen des formules de transformation

a?=:a-haX-4-aT4-a"Z,

où x^y^ z sont les coordonnées absolues de M, X,Y, Z ses coordonnées relatives.

Si les coordonnées X, Y, Z sont constantes, le point M est fixe dans le système mobile ; si elles varient, le point M est mobile, c'est-à-dire en mouvement relatifs par rapport au système entraîné.

30. Mouvement d'un système invariable. — Supposons chaque point M fixe dans le système mobile, ce qui revient à admettre que le système en mouvement est invariable et que les axes mobiles lui sont invariablement liés. Nous verrons que tout mouvement d'un tel système se ramène à deux autres, translation et rotation, que nous allons d'abord définir.

I® Translation, Un système est animé d'un mouvement de translation si, dans deux positions quelconques du système, les droites AA', BB', GC, . . . , qui joignent les deux positions d'un même point sont toutes égales, parallèles et de même sens.

Dans un tel mouvement, toute droite AB se déplace parallèlement à elle-même; il en est de même de tout plan ABC.

Tous les points sont animés à un instant quelconque

AA' d'une vitesse commune, puisque (^A = lim -r— ; il en résulte

que l'accélération est aussi la même pour tous les points. Enfin, comme les trajectoires de tous les points sont des courbes identiques, le mouvement d'un système en translation est complètement défini quand on connaît celui de l'un de ses points.

2** Rotation, Un système invariable est animé d'un mouvement de rotation quand deux points et par suite une droite du système restent fixes, les autres points étant en mouvement. Proposons-nous de rechercher les composantes de la vitesse d'un point quelconque de ce système.

Supposons que l'on ait pris l'axe de rotation pour axe des z ] un point M décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe de rotation, et dont le centre Oi est sur cet axe, car le point 0| est fixe, l'angle M0<0 est égal à 90® et la distance 0|M =: r est constante; la pro-

jection de sa vitesse sur O^ est donc nulle, Vg = o. Quant aux projections de v sur O^et Oy, ce sont celles du point m projection de M sur le plan ûcOy; or m décrit un cercle de centre O et de rayon r, sa vitesse

est r -7- = ro) et ses projections sont

^x = — ^yy Vy

Remarquons que o) est à chaque instant commun à tous les points du système, car soient ô etôi les angles azimutaux qui correspondent à MetMi, le système étant invariable,

— 6i:=:COnSt., -5 — -=:0, (D =!(«),.

ai ai

On peut 'représenter symboliquement une rotation en convenant de porter sur Taxe de rotation, à partir d*un point quelconque O de cet axe, une longueur OA égale à la valeur absolue de o), dans un sens tel qu'un observateur ayant les pieds en O et la tête en A. voie tourner chaque point en vertu de la rotation commune dans le sens positif, c'est-à-dire devant lui, de sa gauche vers sa droite. Une rotation est parfaitement définie quand on donne la quantité géométrique OA qui la représente, car on connaît ainsi l'axe, le sens et la grandeur delà rotation.

Calculons maintenant les composantes de la vitesse quand l'axe de rotation est une droite quelconque OA issue de l'origine O et dont nous représenterons les cosinus directeurs par a, P,y- Prenons pour système intermédiaire un système rectangulaire OXYZ, direct comme le proposé Oxyzet dans lequel on choisit pour axe des Z l'axe OA; soient a', g', y', (x'\?l\^" les cosinus directeurs de OX et OY. Nous établirons d'abord les trois relations

analytiques suivantes :

a = PY - Y'p^ p = Y'a" - aY, Y = ^T - ?'*"• On a, en exprimant que OZ est perpendiculaire à OX et O Y,

ôlol' -+- pp' -h yy' = o, aa" -4- pp'' -H y/ == o,

d'où

v/i3(pY — y'P'')'

sin XOY

or, les rapports proposés sont aussi égaux à

xPy

a'^pY

et A>» o, donc ils sont égaux à + i, ainsi que A, et Ton a bien les relations précédemment écrites.

Gela posé, par rapport aux axes OXYZ, les composantes de la vitesse d'un point X, Y, Z sont

toY, Pr = a)X,

revenons aux anciens axes, on a, par le théorème des projections appliqué à la vitesse du point considéré,

d'ailleurs

a'f'x + a" Vr — (a''X — a' Y) w, PVx + p*(^T = (P"X-p'Y)(o,

d'où

= t>[z (y' a" — a' y") — 7 (a' p" — p'a'')] — (p-s — Yj) ^•

Or, soient /?, gr, r les projections de Taxe de rotation OA = (ù sur les axes fixes, on a

et, par suite,

^'x = qz—ry, Çyz=irx—pz, v^.—py—qœ,

31. Mouvement relatif d* un point. — Soit un point M mobile par rapport au système de comparaison AXYZ ou S, animé lui-même d'un certain mouvement qu'on appelle mouvement d'entratnem,ent. Le point M par rapport au système fixe Oxyz décrit dans l'espace une certaine courbe, c'est sa trajectoire absolue ; rapporté aux axes AXYZ considérés comme fixes, il décrit une autre courbe qui est sa trajectoire relative.

On appelle vitesse absolue et vitesse relative de M, les vitesses de ce point dans son mouvement absolu et dans son mouvement relatif; enfin on désigne sous le nom de vitesse d^ entraînement ou vitesse du point coïncident la vitesse qu'aurait M en vertu du seul mouvement d'entraînement, c'est-à-dire la vitesse que possède à l'instant considéré, un point fixé au système AXYZ et coïncidant alors avec M.

32. Théorème. — La vitesse absolue d^ un point est la somme géométrique de la vitesse d^ entraînement et de la vitesse relative de ce point.

Soient S et S' deux positions infiniment voisines du sys-

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'UN SYSTÈME INVARIABLE. 89

lème de comparaison, MM' l'arc de trajectoire absolue, MjjL l'arc décrit par le point coïncident {^fig> i4) ou l'arc qu'aurait décrit M s'il était en repos relatif, l'arc décrit

Fig. 14.

dans le mouvement relatif passera par les points [j. et M'; or on a, en prenant les cordes,

(MM')r^(M[JL)4-(jxM'),

ou en divisant par A^ et passant à la limite,

i», Ve et Vr désignant les vitesses absolue, d'entraînement et relative.

Analytiquement, on a

a? = « 4- aX -h a'Y -i- a"Z,

d'où pour la projection de la vitesse absolue sur O^,

( da da.^ d(i' d%" „\

\dt dt dt dt )

c?X , d\ ji dZt dt dt dt

la première parenthèse est la dérivée de x prise en regardant X, Y, Z comme constants, c'est donc la projection

4o TRAITE DE CINÉMATIQUE.

sur Ox de la vitesse du point coïncident; quant à la deuxième parenthèse, elle représente évidemment la projection sur le même axe de la vitesse relative.

Remarque. — Le théorème s'applique aux accélérations quand le mouvement d'entraînement est une translation. En effet, les directions des axes mobiles restant constantes, on peut prendre les axes fixes parallèles aux axes mobiles, et alors

d'où

^d^ (PX d^dPb (P^ Pz,Pc dVL

df" ~ dt^^ dt^' dt*~d^~^~dF' dt^ ~~ dt' "^ dt^ '

donc

(r) = (Yd) + (rr),

Pa Pb (Pc 1 j i> ^

puisque -j-j > -yy ) -y^ sont les composantes de 1 accé -

lération d'un point quelconque du système dans le mou vement de translation.

Hors ce cas, le théorème ne s'étend plus aux accélé rations.