BB

lim

r=: lim

2 AB sin —

lim f ^ 1 ^ .

,. Aa A^

on a donc

<i) étant comme Aa indépendant des points A et B. En outre, la grandeur géométrique riù est à la limite perpendiculaire à A'B'', ou à AB; c'est donc la vitesse qu'aurait le point B s'il tournait autour du point A avec la vitesse angulaire to indépendante des points A et B.

Cela posé, il est facile d'établir qu'il y a, à un instant donné, un point de vitesse nulle.

Soient A un point quelconque et v sa vitesse (,/ig* 17),

Fig. 17.

menons une perpendiculaire en A à «^ et prenons un point quelconque I sur cette perpendiculaire; la vitesse de I est la somme géométrique de v et d'une certaine vitesse de rotation AI x w perpendiculaire à AI, et cette dernière

vitesse sera directement opposée à la première, si l'on a pris I d'un côté convenable de A. Prenons en outre le point I tel que AI x w =»i', alors les deux composantes de la vitesse de ce point ont une somme géométrique nulle, et I est un point de vitesse nulle.

D'ailleurs, pour un point quelconque M de la figure, on a

(Tm) ^ (^^i) -h (IMx co) —rtùy

et par suite la vitesse de chaque point M est la même que si toute la figure tournait avec une certaine vitesse angulaire 0) autour du point I, que Ton nomme centre instantané de rotation] il convient d'ajouter que le centre instantané I et la vitesse angulaire de rotation o) varient généralement d'un instant à l'autre, mais qu'il n'y a à un instant donné qu'un point de vitesse nulle, car s'il y en avait un second V la droite II' serait fixe et il en serait de même de toute la figure.

Remarque. — Quand le mouvement est une translation, (i) = o, AI = — = 00 ; on peut regarder une translation comme une rotation autour d'un point rejeté à l'infini sur une direction normale à la vitesse.

35. Corollaires, — I. A un instant donné, tout se passe au point de vue des vitesses seulement, comme si la figure tournait autour du centre instantané I; il en résulte que les normales aux trajectoires que décrivent les difierents points de la figure vont toutes concourir au centre instantané I.

IL Si l'on a les normales aux trajectoires de deux points dans une situation donnée de la figure, on aura le centre instantané correspondant, et par suite la normale

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'UN SYSTÈME INVARIABLE. 45

à la trajectoire d'un point quelconque pour la même position de la figure. Considérons, par exemple, l'ellipse engendrée par un point M d'une droite de longueur constante, dont les extrémités A et B se déplacent sur deux droites rectangulaires fixes O^ et Oy {Jig. i8); la trajectoire de A est O^, celle de B est Oj?, le centre instantané est à l'instant considéré, au point de rencontre des

Fig. 18.

normales aux trajectoires de A et B, il est donc en I quatrième sommet du rectangle construit sur OA et OB. La normale à l'ellipse décrite par le point M sera la droite MI.

36. On démontre directement ces corollaires comme suit (Ghasles).

On peut amener une figure plane qui se déplace dans son plan^ d'une position à une autre par une rotation.

Soit AB {fig* 19) une droite liée à la figure, et soit A'B' la position occupée par AB lorsque la figure s'est déplacée ; en K et K', milieux de AA' et BB', élevons des perpendiculaires qui se coupent en I, les triangles AIB, A'IB' équîlatéraux entre eux sont égaux, donc il en est de même de leurs angles en I; ajoutant (ou retranchant suivant le cas)

Tangle BIA', on a

AIA' = BIB' =: a.

Donc, en faisant tourner AB de l'angle a autour du point I, A vient en A', B en B' et cette rotation amène AB à coïncider avec A'B'.

Si le déplacement est infiniment petit, les droites telles que AA',BB', . . . deviennent à la limite les tangentes aux

Fig. 19.

trajectoires de A, B, . . . et Kl, K'I, ... les normales; donc toute normale passe par le point I.