Mouvement épicydoldal plan

37. Méthode géométrique. — Soient G une courbe fixe, A un point fixe pris sur cette courbe, C une courbe mobile de figure invariable mais assujettie à rester constamment tangente à G, B un] point fixe sur la courbe G' et enfin I le point de contact; on dit que ces courbes roulent l'une sur l'autre, quand on a constamment

arc Al — arcBI = const.

On peut toujours prendre cette constante nulle en choisissant convenablement l'un des points A ou B.

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 4?

La courbe mobile est appelée roulante, la courbe fixe base ; enfin on nomme roulette la courbe décrite par un point quelconque du plan mobile.

38. Théorème. — Tout mouvement d'un plan mobile sur un plan fixe est épicycloidal, c'est-à-dire peut être engendré par le roulement d' une courbe mobile sur une courbe fixe.

Soient O, O', O', ... {fig. 20), les points du plan fixe qui sont centres instantanés de rotation aux époques t^t-\- A^, ^ + 2 A^, . . ; soient au temps ^, 0| , O2, . . /,

Fig. 20.

les points du plan mobile qui viendront successivement coïncider avec les centres instantanés O', O ', . . . , aux époques t + A^, t 4- 2 A^, .... On peut concevoir que, pendant le premier intervalle A^, la figure tourne autour du centre O d'iin angle infiniment petit et qu'alors 0< vient en O'; pendant le second intervalle, la figure tourne autour de O' et O2 vient en O'', et ainsi de^ suite. Dans cette suite de mouvements, le polygone OO4O2 ... roule sur le polygone O O'O^' ... ; donc à la limite, quand on fait tendre chacun de ces intervalles successifs vers zéro, on a deux courbes, limites des polygones inscrits, et qui roulent l'une sur l'autre.

La courbe fixe est le lieu des centres instantanés dans le plan fixe, la courbe mobile est le lieu des points du

plan mobile qui deviennent successivement centres instantanés.

Remarque. — A chaque instant, le centre instantané I est le point de contact de la base et de la roulante. Et réciproquement : si une courbe mobile roule sur une courbe fixe, le centre instantané de la figure liée à la courbe mobile est le point de contact des deux courbes, c'est-à-dire que la vitesse du point de contact I est nulle. Car, soient au temps t -f- A^, I| le nouveau point de

Fig. 21.

contact {fig. 21 ) et F la nouvelle position de I considéré comme entraîné avec le plan mobile; on a, en prenant les cordes

iT'= ïl' 4- rïi - 2II1 X ri, X cosrij

^(11, -n,)''-!- 4111 X rii X sin' î^;

or, aux infiniment petits du troisième ordre près,

II, — n, ■=! arcll, — arcl'I, =0,

ir est donc du quatrième ordre et IF du deuxième ordre ;

ÏF donc la vitesse du point I, qui est lim — ? est nulle.

39. Etude analytique du mouvement épicycloidaL — Soient Ox^ Oy deux axes rectangulaires fixes, AX, AY deux axes rectangulaires entraînés avec le plan mobile,

a, b les coordonnées de A et a l'angle de AX avec Ox\ a, è et a sont des fonctiops du temps t. Considérons un point déterminé du plan mobile dont X et Y sont les coordonnées constantes par rapport aux axes mobiles, et j?, y ses coordonnées relativement aux axes fixes. On a

. ( a? = a4-Xcosa — Ysina, ( y = 6 4- X sm a 4- Y cos a.

Calculons la vitesse du point M entraîné avec le plan mobile; ses composantes suivant Ox el Oy sont, en^ remarquant que

da da dçL

dt dd dt et en posant

da , db -, d%

Tx-""' di-^' dt-'^'

-7- = (a'— Xsina — Ycosa) o) rtz: (a' — / -h 6)w,

^''^ ^ dy

-^— -. (6'H-Xcosa — Ysina)a)=: (6' -4- x — a) o).

Il existe donc un point (a^j, y^) et un seul* de vitesse nulle, défini à chaque instant par les deux équations

(3) a?, =a — b'^ y^:=:za' -h b.

En outre, on peut écrire les composantes de la vitesse d'un point quelconque {x^ y)

dx dy

si donc, sans changer la direction des axes O^ et Oy, on transporte l'origine au point x^^y^^ les composantes de la vitesse suivant les nouveaux axes Ç etiQ seront — wy; et cd? ;

ViLUÉ. — Cinématique. 4

5o TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.

donc la vitesse du point œ, y est la même que s'il tournait

"dt

doL autour du point a?i, jKi? avec la vitesse angulaire o) = -r-

40. Pour démontrer que le mouvement est épicycloïdal, nous rechercherons d'abord par rapport aux axes fixes OûCf Oy^ Téquation de la base, c'est-à-dire le lieu des centres instantanés dans le plan fixe et celle de la roulante, ou le lieu des points du plan mobile qui doivent coïncider avec les centres instantanés successifs, dans la position qu'elle occupe à une époque déterminée Iq.

1° Equation de la base, — C'est le lieu des points x^^y\ de vitesse nulle quand t varie ; il s'obtient donc par l'élimination de a entre les équations

^1 = « — fe'z=(p (a), j, =:a' 4- 6=:<}/(a).

2** Équation de la roulante, — Cherchons d'abord son équation par rapport aux axes mobiles AX, AY ; les coordonnées relatives Xj, Y| du centre instantané sont liées k x^jy\ par les formules de transformation

a?! = a — 6' m a -t-Xj cosa — Yj sina, ji = a' -h 6 = 6 -f- Xi sina -\- Y, cosa,

d'où (4)

( Xj r= — 6'cosa4- a'sina = <E>(a), 1 Yi =6' sina4-a'cosa3='ç^(a);

éimlinant a, on aura le lieu des points X^Y^ du plan mobile qui deviennent successivement centres instantanés, ou l'équation de la roulante rapportée aux axes entraînés. Etablissons maintenant l'équation de la roulante rapportée aux axes fixes, mais à une époque déterminée t^. Soient <^oj ^0) «0? les valeurs de a, b^ a k cette époque et Xo^y^ les coordonnées absolues d'un point quelconque de la rou-

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN D UN SYSTEME INVARIABLE. 5l

lante à cette même époque, c'est-à-dire du point X<,Yi qui deviendra centre instantané à l'époque t variable, on a alors

l a?o = ao 4- Xj cosao — Yj sinao, I jKo = ^0 H- X, sinao -h Yi cosao ;

mais Xj et Y< sont donnés en fonction de a par les équations (4) ; substituant dans (5) et éliminant a, on aura le lieu des points Xq^ yoj ou l'équation de la roulante à l'époque to par rapport aux axes fixes.

41. Les équations de ces courbes étant établies, il est aisé de reconnaître qu'elles sont tangentes en leur point commun, à l'époque arbitrairement choisie t=:tQ; en elTel

dXi—(a'—b")d(x, dyt — (a"-{-b')doi,

da^Q = dXi cosao — dY^ sinag,

dyo m dXi sinao 4- dY^ cosa©, mais

c?X, =( — 6''cosa-i- 6'sina-f- a'^sinaH- a'^cosa)c/a, dYi ^={b' çoscL-h b" sina-h a" ces a — a'sina)^a,

é/X, := dxi cosa -h dyi sina, c/Y, 1^ dyi cosa — dcci sina;

substituant et faisant t:= to^ c'est-à-dire a = ao, on a

dxo = dXi , dyQ zrzz dy^ ,

d'où

dy^ ___ dy^ ^

ce quî prouve qu'il y a contact, et

dso == dsi , ^1 — 5o = consl. ,

ce qui montre que les deux courbes roulent l'une sur l'autre.

42. Applications. — i® Normale à la cycloide et à Vépicycloide. Elle joint le point décrivant au point de contact du cercle mobile avec la droite ou le cercle fixe.

Quand une circonférence de rayon - roule à l'intérieur

d'une circonférence de rayon double r, les épicycloïdes

prennent des formes simples que nous allons rechercher.

Tout point M de la roulante R {fig* 22) engendre une

Fig. 22.

droite, passant par le centre C de la base B; en effet MG est tangente à la trajectoire du point M, cette trajectoire a donc pour équation différentielle, en prenant le point C pour origine,

y dy

X dx

d'où j^ = ex. On le voit encore en joignant le point C à

un point fixe A de la base, on a

arcMI:=-x MG'l, arcAI=:r x MCI,

d'où

arc MI ==: arc AI;

donc le point M de la roulante qui doit venir en A est à un instant quelconque sur la droite fixe CA, donc il la décrit.

Tout point P de la figure, lié au cercle C, décrit une ellipse. Car si l'on joint C'P, cette droite coupe la roulante en deux points M et L qui décrivent les deux diamètres rectangulaires CM et CL de la base, donc les longueurs PM et PL étant constantes, le point P décrit une ellipse de demi-axes PM et PL placés sur CL et CM.

2® Roulette du pôle P d'une spirale logarithmique qui roule sur une droite fixe Ox.

Soit I le point de contact avec la base, la normale PI à

la roulette du pôle P fait un angle constant X avec Ox^

-^ = — cotangX r= c, yz:^cx-\-d\

le pôle décrit une droite.

3** Les deux extrémités K et C» d'une droite de longueur fixe KG, glissent sur deux droites Ox, Oy, faisant entre elles un angle donné, cette droite entraîne un plan, trouver la base et la roulante.

Soit AC une position de la droite (fig- 28), le centre instantané I est à l'intersection des perpendiculaires AI et CI à Oy et Ox'y or l'angle AIC est égal à xOy ou à son supplément, donc la roulante, lieu de I dans le plan mobile, est la circonférence à laquelle appartient le segment capable de l'angle O, décrit sur AC, c'est-à-dire la circon-

férence AGIO entraînée avec AG. D'ailleurs la droite Oï étant un diamètre de cette circonférence est de longueur constante et le lieu de I dans le plan fixe ou base est une circonférence de centre O et de rayon double de celui

de la roulante. Le mouvement dont il s'agit s'obtient donc en faisant rouler une circonférence à l'intérieur d'une autre de rayon double et tout point du pl'an mobile décri t une ellipse ou une droite.

43. Problème. — On donne la base B et la roulette D que doit décrire un point M du plan mobile, trouver la roulante.

Soit I le centre instantané à une certaine époque i© {fig. 24), le point décrivant M est alors sur la normale IM menée de I à la roulette D; considérons un axe polaire MX entraîné dans le mouvement, posons

XMI=:6

et cherchons la relation entre r et 0, ce sera l'équation de la roulante dans le plan mobile.

CHAP. II. ~ MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 55

Les courbes B et D étant données, on connaît la relation qui existe entre le rayon vecteur r et l'angle p qu'il fait

Fig. 24.

avec la tangente T; on a d'ailleurs l'équation diflFérentielle

d'où

c/ô = ^tangp=-^tangp^p

qui, intégrée donne Ô en fonction de p; éliminant ^ on a la relation cherchée entre r et 6.