Appliquons à quelques exemples

ï** La base B et la roulette D sont deux droites. — Si d'un point quelconque I de la base on mène une normale à la roulette D, l'angle g qu'elle fait avec B est constant,

I rd^

^ __ ga6 j

c'est une spirale logarithmique ayant le point M pour pôle ; ce pôle décrit bien en effet une droite (n® 42, 2^).

2® La base B est une droite OX et D la chaînette correspondante y = - lê^ + e^Y

On a (/^. 25)

sin*p sin*p c?ô = — langp=: — 2dp,

d'où 6 = ic — 2^ en supposant que 6 = o pour p=->

c'est-à-dire que l'on a pris AO pour axe polaire quand M est en A. Éliminant p, on a

CCS

j 6 I -h cos 6 ;

c'est l'équation d'une parabole de foyer A; donc, quand une parabole roule sur une droite, le foyer décrit une chaînette.

45. Enveloppe d'une courbe mobile.* — Les diverses positions d'une courbe C invariablement liée au plan mo-

CHAP. II — MOUVEMENT PLAN D'uN SYSTÈME INVARIABLE. 67

bile ont généralement une enveloppe, nous nous proposons de chercher quel est, pour une position donnée, le point de contact de la courbe et de son enveloppe.

Théorème. — Le point où la courbe mobile C touche son enveloppe est le pied de la normale à la courbe menée du centre instantané correspondant.

Soient C et C {fig* 26) deux positions infiniment voisines de la courbe C aux époques telt-\- Atj m un point d'intersection de ces courbes et /n' le point de G qui vient

Fig. a6.

en m au temps t + A^. La perpendiculaire à la droite mm' en son milieu passe à la limite par le centre instantané (n® 36); or, à la limite, les deux positions m' et m d'un même point se confondent en un seul point M qui, comme situation limite de m, est le point où la courbe touche son enveloppe, et la perpendiculaire à m'm devient la normale à la courbe G au point M ; donc cette normale passe par le centre instantané.

Corollaire. — L'enveloppe des roulettes décrites par tous les points d'une courbe mobile G coïncide avec l'enveloppe de cette courbe.

Il résulte, en effet, de ce qui précède que la roulette du point M ayant pour tangente la position limite de m'm, louche l'enveloppe des courbes G et, comme le point M varie avec l'époque considérée, les trajectoires de tous les points de G touchent, à des instants différents, l'enveloppe de ces courbes.

On arrive, par l'Analyse, aux mêmes résultats. Soit une courbe G,/(X, Y) = o, invariablement liée aux axes mobiles AX, AY, les formules de transformation fournissent Téquation de cette courbe rapportée aux axes fixes à l'époque /,

cette famille de courbe aura généralement une enveloppe déterminée par les équations

au point M commun à l'époque tj la tangente à l'enveloppe se confond avec celle de la courbe et son coefficient angulaire k est donné par l'équation

dF , dF

âo) ay

Considérons une position G' infiniment voisine de la courbe G à l'époque t -^ dt el soit W{x -\- dx^y -\- dy')\d. nouvelle position de M, on a

dF . dF . ÔF ,, -T-dx-\- -T-dy -\- -^dtr=^o\ ox ây "^ ot

dF or, pour le point M, — =0, donc le coefficient angulaire

de la tangente MM' à la trajectoire de M est le même que celui de la tangente à l'enveloppe; donc la tangente à Tenveloppe se confond avec la tangente à la trajectoire de M et il en est de même des normales; d'ailleurs la normale à la trajectoire du point M passe par le centre instantané, celui de la normale à l'enveloppe jouit donc de la même propriété.

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN D'uN SYSTÈME INVARIABLE. 69

46. Applications. — i** Un angle de grandeur con~' stante se meut dans son plan; de manière que ses côtés touchent chacun une courbe donnée; troui^er le centre instantané, pour une position déterminée.

Les deux côtés de l'angle ayant pour enveloppes les deux courbes, le centre instantané est à Tintersection des normales aux points de contact.

La construction précédente permet de déterminer la tangente à la podaire d'une courbe; cette podaire est le

Fig. 27.

lieu des sommets P d'un angle droit dont un côté touche la courbe C (/ig» 27) et l'autre passe par un point fixe O, c'est-à-dire est tangente à un cercle de centre O et de rayon nul ; le point de rencontre I de la normale MI à la courbe C et de la droite 01 perpendiculaire à OP est donc le centre instantané. On en conclut que la normale PI à la podaire passe par le milieu A du rayon vecteur OM.

Examinons encore le cas où les côtés d'un angle constant APB (Jig. 28) sont assujettis à passer par deux points fixes A et B. Le point d'intersection I des normales aux droites PA et PB est le centre instantané. Le lieu du point P est le cercle circonscrit au triangle APB, c'est aussi le lieu du point ï. c'est-à-dire la base. D'ailleurs PI est con-

6o TRAITÉ DE CINEMATIQUE.

slant et égal au diamètre du cercle base. Donc la roulante

Fig. 28.

est un cercle de rayon double du premier et ayant son centre en P dans la figure mobile.

2" Une droite se meut en restant tangente à une courbe A, un de ses points K décrivant une courbe C,

construire la normale à la courbe décrite par un point quelconque M de cette droite.

Le centre instantané I est sur la normale à la courbe A qu'enveloppe la droite et sur la normale en K à la courbe C que décrit ce point.

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN D UN SYSTEME INVARIABLE. 6l

Cette construction s'applique à la recherche de la normale à la conchoïde ; cherchons, dans ce cas, la base et la roulante. Les coordonnées du centre instantané I sont, relativement aux axes fixes (^fig^ 29),

a: = — IB = — OB tan§e — — a tang'e, y z=z OB 1= a tangG ;

et par rapport aux axes mobiles

XrrrKO

cosô Y = XtangO.

Éliminant 8, on a les équations

y'-\-axz=: o, X* --r: a« ( X« 4- Y» ) ;

la base est une parabole et la roulante une courbe du quatrième degré.

3® Un angle droit APB se déplace de telle sorte que Vun des côtés passe par un point Kfixe sur la droite OX, et qu'un point fixe B du second côté décrive la droite Oy^ perpendiculaire surOx; on se donne la condition PB = OA et Von propose de trouver la base et la roulante de ce mouvement {fig< 3o).

Le centre instantané I est sur la perpendiculaire AI au côté PA et sur la normale BI à Oy,

L'égalité des triangles rectangles BPC, AOG entraîne celle des triangles rectangles CBI, GAI et par suite BI = AI, ce qui prouve que le lieu du point I, par rapport aux axes fixes, est une parabole ayant A pour foyer et Oy pour directrice. Si nous prenons pour axes mobiles PB et PA, la même égalité BI = AI nous montre que, rapporté à ces axes, le lieu du point I est encore une parabole ayant B pour foyer et PA pour directrice.

Ces deux paraboles sont égales comme ayant même

Fig. 3o.

paramètre OA = PB et elles sont symétriques par rapport

Fig. 3i.

à leur tangente commune CI.

4" Un cercle C roule sur un cercle G, trousser

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 63

V enveloppe d^ un diamètre AB du cercle C {fig' 3i). La droite IM perpendiculaire à AB est la normale à l'enveloppe cherchée et cette courbe est le lieu du point M. Or soit A' le point de la base qui a coïncidé avec A, on a lA' = lA ; mais si l'on décrit la circonférence de diamètre IC, on a aussi arc IM =^ arc lA, donc le lieu du point M est l'épicyloïde que l'on obtient en faisant rouler sur le cercle de base G' le cercle de diamètre IG, le point décrivant étant d'abord en A'.

47. Mouvement relatif du plan fixe par rapport au plan mobile. — On réalise ce mouvement en donnant à chaque point du plan fixe une vitesse égale et contraire à celle de ce point considéré comme entraîné avec le plan mobile.

Gar, entre la vitesse absolue i^, la vitesse relative Vr et la vitesse d'entraînement Ve^ on a la relation

or ici i' = o, puisque le point est fixe dans le plan fixe, donc

Vr=^ — Ve.

Gela posé, le centre instantané a une vitesse d'entraînement nulle, il en est donc de même de sa vitesse relative et par suite il est centre instantané dans le mouvement relatif; la base devient la roulante et inversement.

Si, dans le mouvement primitif, un point M lié au plan mobile décrit une courbe G du plan fixe, la courbe G dans le mouvement relatif paraît mobile, en passant toujours par le point M.