Centre des accélérations
48. Lemme. — Lorsqu'une figure plane se déplace dans son plan, l'accélération Yb d'un point quelconque B est la somme géométrique de l'accélération d'un autre point K, arbitrairement choisi^ et de celle qu'aurait B s'il tournait autour de A a\fec la vitesse angulaire variable de la rotation instantanée.
Car soient a, ôles coordonnées du point A et ^,jv' celles du point B; menons par A des axes rectangulaires AX, AY liés au plan ; on a
d? =:= a -h X cosa — Y sina, y zr: 6 -f- X sina + Y cosa ;
d'où
Yb est donc la somme géométrique i** d'une accélération
ayant pour composantes -j-j et -Ty> c est-a-direYAî2**de ce
que serait Yb SI 1 on avait -j-^ = o, -r-^ = o ; or cette double
condition serait remplie si le point A était fixe, mais alors a varierait seul, le système ne ferait que tourner autour
de A, et la vitesse angulaire serait précisément — = o),
vitesse de la rotation instantanée.
Corollaire. — On a
(Yb) ^ (Ya) -h (aB X ^) + ( AB X 0)*),
CUAP. II. — MOUVEMENT PLAN D'uN SYSTÈME INVARIABLR. 65
la grandeur AB x -j- étant portée sur la perpendiculaire
à AB dont le sens où a croit et AB x co^ sur la direction BA^ car ces deux dernières grandeurs ont pour somme géométrique l'accélération de B tournant autour de A avec la vitesse angulaire o).
49. Théorème. — Dans tout mouvement plan il y a, à chaque instant ^ un point d^ accélération nulle, et V accélération des autres points est la même que s*ils tournaient autour de lui avec la vitesse angulaire variable (0 de la rotation instantanée»
Soient X\ , y^ les coordonnées du centre instantané à répoque £, les composantes de la vitesse d'un point x^y du plan mobile sont alors
dx dv
celles de l'accélération sont par suite d^x
dt^
dt^ ri^ "^y^f. ^f^y
d}y d(ù . . ( dx dxx
OU, en éliminant les composantes de la vitesse du point, d^x dbi . . , , . dyi
d*y din . . ,. . dx^
égalant chacune de ces composantes à zéro, on obtient les équations de deux droites rectangulaires, qui se coupent au point d'accélération nulle.
ViLUE. — Cinématique. 5
La seconde partie du théorème résulte du lemme précédent. A cause de cette dernière propriélé, le point d'accélération nulle a reçu le nom de centre des accélérations.
Il convient de remarquer qu'en général, les compo-
santés -^-^ et -~^ ne sont pas nulles, car quoique le point
x^^y^ considéré comme entraîné avec le plan mobile ait une vitesse nulle, il est remplacé à chaque instant par un autre point. Ces quantités sont donc les composantes de la vitesse <^, avec laquelle un point variable du plan fixe prend successivement les positions du centre instantané, c'est-à-dire de la vitesse avec laquelle se déplace sur la base, ou sur la roulante, le point de contact de ces deux courbes.
50. Détermination du centre des accélérations, à un instant donné, — Portons l'origine des axes coordonnés
Fig. 3a.
au centre instantané I à l'instant considéré et prenons pour axe des x la tangente à la base, dans le sens où le
CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN D'uN SYSTÈME INVARIABLE. 67
point de contact se déplace; on a alors, V étant la valeur absolue de la vitesse ç de déplacement du centre instantané,
^1 — 0, ri=o,
â}x diA . d}y diû
Les coordonnées du point C d'accélération nulle (Jig. 82 ) satisfont donc aux deux équations linéaires
^ day d(D ^ -.
la première représente une droite passant par le centre instantané, la deuxième est l'équation d'une droite coupant les axes en des points S et J tels
de
Remarques. — I. Si o) est constant, — = o, les équations du centre des accélérations deviennent
Le centre des accélérations est alors en J et toutes les
accélérations passent par ce point, car— étant nul, la
composante de l'accélération perpendiculaire à MJ est
également nulle, puisqu'elle est MJ x -j- •
Le point J s'appelle centre géométrique des accélérations, parce que quand il s'agit de déplacements pure-
meoit géométriques, c'est-à-dire où n'entre pas le temps, on peut supposer o) constant.
II. Le point I du plan mobile qui coïncide avec le centre instantané à une vitesse nulle, mais son accélération ne l'est pas; on la déduit en effet des formules qui donnent l'accélération d'un point quelconque, en faisant j; 3c= o, j^ = o, il vient alors
l'accélération du centre instantané de rotation est dirigée suivant la normale commune à la base et la roulante , et égale à — wV. Or, si l'on prend l'axe des j^ dirigé vers le centre de courbure O de la base^ on aura, si la roulante est extérieure à la base, co > o et par suite — o) V < o ; cette longueur devra être portée sur le prolongement de l'axe desjK) pour avoir l'accélération du point I. Si au contraire la roulante est intérieure à la base, w < o et l'accélération du point I devra être portée dans le sens du rayon de courbure de la base. Du reste, on voit immédiatement quel est, dans chacun de ces cas, le sens de la déviation du point I.
51. Méthode géométrique. — Recherchons d'abord l'accélération du centre instantané, en employant les axes simples définis au n^ précédent; cette accélération est la limite du quotient par A^ de la différence géométrique des vitesses aux époques ^ et ^ + A^. Or, soient I et I| les centres instantanés aux époques t et t'\- A^, {/ig> 33) la vitesse du point I à ce second instant, est si le point I est venu en F,
(;, = ((*)-f- \(ù) X IiT,
CHAP. IT. — MOUVEMENT PLAN D'uN SYSTÈME INVARIABLE. 69
et cette vitesse est perpendiculaire à ItV ; d'ailleurs, à l'époque t, r, = o, donc
,. (cD -f- Ato) X 1,1' ,. (i)A^ ,, y, = Um ==hm — = a)V,
et cette quantité est portée à la limite sur la perpendiculaire à la tangente en I, soit dans le cas de la figure
Fig. 33.
sur ly prolongé, ce qui revient à porter — wV sur ly, puisque w >> o.
Cela posé, en nous appuyant sur le lemme primitif,
Fig. 34.
l'accélération Ym d'un point quelconque M(r, 8) du plan
mobile est {fig* 34)
(YK) = (-<oV)-+-(a,«r)+(r^);
projelanl sur Oa? et Oy^ on a
Ya; — — w-rcosô -f-r--^cos(ô-f--j>
Yy =: — û)V — <i)-rsinô -f- r -T-sm ( 6 + ~ 1
ou '
. diù
Yy =1— (D V — a)«j 4- ^ ■^;
égalant ces quantités à zéro, on aurait le centre des accélérations.
32. Cercle des inflexions, — Proposons -nous de trouver, à l'époque t, le lieu des points pour lesquels l'accélération est tangentielle. La composante normale de l'accélération de M, évaluée suivant MI, est o) V sinô + w^ r ; en l'égalant à zéro, on a l'équation
(or-h- Vsinô =:o, ou, en multipliant par r supposé différent de zéro,
(0 ( a?' 4- j' ) -H V j == o ; c'est l'équation d'un cercle tangent en I à l'axe des ^,
et passant par le pomt J, car pour ^ = o, onajK = '
c'est donc le cercle décrit sur IJ comme diamètre {Jig> 35). On l'appelle cercle des inflexions y parce que tous ses points ayant leur accélération normale nulle, on
çt (1)' /*'
a -rj = —— = 0, ou puisque /'^o, R = oo ; donc la Ira-
jectoire de chacun des points de ce cercle présente une inflexion en ce point, à Tintant considéré /, sauf au centre
Fig. 35.
instantané, dont la trajectoire présente un rebroussement normal à la vitesse V.
53. Lieu des points dont l'accélération est normale, — Le lieu cherché s'obtient en égalant à zéro la composante tangentielle de Taccélération du point M,
/• -; (O V cosô =: o,
at ou, en éliminant toujours le cas de /• = o,
di
iù
c'est l'équation d'un cercle tangent à ly au point I et
7a TRAITÉ DE CINEMATIQUE.
passant par le point S qui a pour coordonnées
coV
Remarque. — Le point G situé à l'intersection de ces deux circonférences est le centre des accélérations. Mais le point I quoique sur les deux circonférences n'est pas un point d'accélération nulle ; nous avons trouvé, en effet, que son accélération, dirigée suivant Oj^, est égale à — w V. D'ailleurs, dans les calculs précédents, nous avons supposé r^o, donc il n'est pas étonnant que les formules ne s'appliquent pas au point I, pour lequel r est nul et 6 indéterminé.
On se rend plus complètement compte de la singularité que présente le point I, à l'aide des considérations suivantes. Pour un point tel que M situé sur le cercle des inflexions, l'accélération est dirigée suivant la normale à IM; or si M se rapproche indéfiniment de I, la position limite de IM sera I^, donc l'accélération de I considéré comme appartenant à cette circonférence sera normale à \x. De même, pour un point N de la seconde circonférence, l'accélération est dirigée suivant IN, qui, à la limite, devient la droite \y\ donc de ce que le point I est à la fois sur les deux circonférences, on ne peut tirer qu'une seule conclusion, savoir que la composante de son accélération suivant Qx est nulle.
