Rayons de courbure
54. Relation entre la vitesse angulaire et la vitesse de déplacement du centre instantané, -^ Soient tD la vitesse angulaire, V la vitesse de déplacement du point de
CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 78
contact, R et R' les rayons de courbure de la base et de la roulante, on a la relation importante
le signe supérieur répondant au cas où ces courbes ont des concavités opposées et le signe inférieur à celui où elles sont de même sens. On peut d'ailleurs ne conserver que le signe inférieur pour les deux cas à la condition de donner un signe à R'.
i®^ Cas. — Coneavités opposées. Soient C la base, C'ia roulante {Jig^ 36), I le centre instantané à l'époque ^,
Fig. 36.
I, ie centre instantané à l'instant t + A^, l' le point de C qui vient alors en I|, I|0, FO' les normales aux courbes G et G'; on a
arc IF = arc I II =: A^.
Au bout du temps A^, FO' se place sur la direction OI« prolongée, par suite l'angle e de ces deux droites est celui
de la rotation infiniment petite du plan, puisque c'est l'angle des positions initiale et finale d'une même droite du plan aux époques ^ et / + A^ ; donc, en valeur absolue
Mais
d'où
0) = lim-— •
A^~ A^VA^"^ àsj'
or
lim-— =:— , lim---m~--5 Iim---=V,
donc
<- = V U+in
D'ailleurs V est une valeur absolue et w > o, puisque la rotation se fait de FO' vers 01, ou de O^ vers Oj^, donc la formule est exacte eu égard aux signes.
2® Cas. — Concavités de même sens. Soit d'abord R>>R' {/ig' 37), alors la roulante est à l'intérieur et o)<C o. L'angle e des deux positions de O'V aux époques t et ^ + A^, c'est-à-dire des deux droites O'V et 0I| est
A^" A^ VA5 ^s
mais
linii- = o,,
CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 75
donc
Si R << R', la roulante est exlérîeure à la base, w >> o, il
en est de même de ^g- — rg^> donc la même formule subsiste.
Corollaire. — Lorsque rr — p-, est constant, ainsi
que 'l'une des quantités V ou o), il en est de même de l'autre. On peut toujours supposer V^ constant quand il s'agit d'une construction ou d'une propriété géométrique indépendante des vitesses du système.
