V III

dans laquelle R est positif, d'après le choix de Taxe desj^, mais R' et J sont susceptibles de signes.

Si, par exemple, un cercle O' roule à l'intérieur d'un cercle O de rayon double, la formule donne J = R, donc le point J se confond avec le centre O de la base ; effectivement, le cercle de diamètre 10 est celui des inflexions, car tous ses points décrivant des droites, le rayon de courbure de leur trajectoire est infini.

56. Cas PARTICULIERS. — i** La base est une droite. Alors R = 00 , J =: R', le point J coïncide avec le centre de courbure de la roulante. Si la roulante est un cercle, on a le mouvement cycloïdal; le point J est au centre O du cercle. On pouvait le prévoir, car le point O décrit une ligne droite parallèle à la base, d'où il résulte qu'il est constamment sur le cercle des inflexions; il doit donc coïncider avec le point J, car le cercle des inflexions doit être tangent en I à la base.

2*^ La roulante est une droite. Tout point M de cette droite décrit une courbe dite développante de la base; la base se nomme alors la développée de ces courbes. La droite MI, en se déplaçant, reste à la fois normale à la trajectoire du point M et tangente à la base, donc les normales à la développante sont tangentes à la développée; il en résulte aussi que le centre de courbure d'une développante est au centre instantané, car c'est l'intersection de deux normales infiniment voisines de la développante, c'est-à-dire de deux tangentes de la développée.

Enfin on a J =:: — R; le point J est symétrique, par rapport au centre instantané^ du centre de courbure de la développée.

57. Centre de courbure d^une roulette, — Soient M(r,6) un point mobile {^fig* 38), M' sa position infiniment voisine, I et I, les situations correspondantes du

Fi g. 38.

centre instantané, et F le point de la roulante qui viendra en I« ; IM et I| M' sont les normales à la roulette de M, aux époques ^ et f + A^ et Fintersection 0| de ces droites tend vers le centre de courbure de la roulette en M. Soient encore r<, 6 les coordonnées du point O, ; dans le cas de la figure r^ = — 10|, il serait +10^ si 0| était sur OM, au lieu d'être sur son prolongement; on a la relation

K THAirt: DB CIMiHATIQUC.

En effet e, aogle de MI' avec sa position M'I| à l'époque 4- Af, est l'angte de la rotation pendant le temps At, 'ailleurs w > o, donc

n grandeur et en signe; mais

t = 0, -■- M, arcir = arclli — ij,

Pour trouver la limite du second membre, décrivons de l comme centre, avec MI pour rayon, un arc de cercle 3, le triangle GII' donne

,. IG ,. sinl' 1 r sm O

; même le triangle I1|G| donne

0, sinô

CHAP. IL — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 79

Avec un autre cas .de figure, on aurait par exemple ,.6 ,. A5 /M O,

^t àc \às as

^/sin8 sin6

ce qui conduit à la même formule.

Corollaires. — I. En vertu de la relation

on a encore la formule

J sinO

II. On peut retrouver le cercle des inflexions en cherchant le Heu des points M pour lesquels le rayon de courbure de la roulette est infini; faisant r^ = oo dans la formule qui précède, on a

r = JsinÔ, c'est le cercle décrit sur IJ comme diamètre.

< TRAITÉ DE CINÉHATIQUE.

58. Centre de courbure de l'enveloppe d'une courbe. - La recherche de ce centre de courbure se ramène à ille du centre de courbure d'une roulette à l'aide du léorème suivant :

Théorème. — Le centre de courbure de l'enveloppe 'une courbe, en un point donné de cette enveloppe, t le même que celui de la roulette décrite par le ntre de courbure correspondant de la courbe mobile.

Soient, en effet B et D' les positions de la courbe aux

)0(]ues ï et / + A( [Jîg- 4o)i I ^^ ^i les centres instan-

Fig. 4o.

nés correspondants, 1' le point de la roulante qui vient I I|, E et E' les points de contact de D et IV avec mveloppe; lE, I) E' sont des norinales à l'enveloppe, >nc leur point de rencontre 0^ a pour limite le centre ! courbure de cette enveloppe. Menons encore l'K norale à D; à la limite, le point K de rencontre de cette trmale avec lE est le centre de courbure de la courbe D. Soient r et 6 les coordonnées polaires du point K,

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 8l

r, et 6 celles de Oi ; on a, e étant l'angle de RF avec sa nouvelle position I| E' et remarquant que w > o,

d'où

co=zliin— -, £=:Oi + K,

,. £ ,. A5/O, K iitn -— =!= hm T- ( T-^ -H T-

,. K sinô sinO

A5 IK r

,. Oi sîn6 sîn'^ hm -— z= — —^ ~ ,

(0 = V ( ) sin6.

Or c'est la formule qui donne le rayon de courbure de la roulette décrite par le point K centre de courbure de la courbe mobile ; donc le centre de courbure de l'enveloppe est celui de la roulette décrite par le point K.

59. Corollaires. — I. Les enveloppes de deux courbes parallèles D et Dj sont des courbes parallèles, car le point K est le même pour les courbes D et D|, donc aussi le point Oi et par suite les deux enveloppes ayant mêmes centres de courbure sont parallèles.

II. Le centre de courbure de l'enveloppe d'une droite du plan mobile s'obtient en faisant /• = 00 , d'où

— sin6r==- — =-=:—-, /\ -h Jsinô 1=0.

Tt R R' J

Le lieu des centres de courbure des enveloppes des droites du plan mobile est, à un instant donné, le cercle symétrique de celui des inflexions par rapport au centre instantané.

L'équation de ce lieu s'obtient d'ailleurs très simple- ViLLiÉ. — Cinématique. 6

ment comme suit; on a dans le triangle 0|II, {Jig* 40?