Construction de Savary modifiée, — Soit O4 le

Fig. 43.

centre de courbure de la roulette du point M {Jig. 43), le rayon de courbure MO, = p rencontre le cercle des

inflexions en un point D, tel que

r' = 3 X MD ;

on a en effet, en égalant deux expressions de raccélération normale précédemment indiquées (a®* 18 et 52),

ci o)- r'

= r(!)* 4- toVsinÔ,

d'où

r* = p f /-h — sinô j — p(r — JsinÔ) =p X MD.

Celte propriété conduit à la construction suivante du centre de courbure 0| : on joint le point M au point J et l*on prolonge cette droite jusqu'à sa rencontre en Q avec la perpendiculaire IQ au rayon IM, puis par le point Q on mène une parallèle à IJ jusqu'à sa rencontre en 0^ âVec MI, 0| est le centre de courbure cherché; car

MO,MQ r r ~" MJ "" MD'

d'où

MO, = p.

La connaissance des seijls points I et J fournit donc le centre de courbure de toutes les roulettes.

Remarque. — Cette règle peut encore se déduire de la construction de Savary, si l'on observe que la base et la roulante n'entrent dans l'équation qui définit le centre de

courbure que par la différence -^ — vr,y or

donc on peut faire la construction de Savary avec une

base de rayon infini, c'est-à-dire une droite et le cercle de rayon J, soit un cercle ayant J pour centre et de rayon double de celui des inflexions. Cela revient à opérer comme si le mouvement résultait du roulement sur une droite, de ce cercle, qu'on appelle cercle de roulement, et la construction de Savary appliquée au roulement de ce cercle sur Ox^ conduit à la règle précédente.

6* — Applications géométriques.

62. Problème. — Connaissant les centres de courbure des roulettes décrites par deux points M e^ N d'un plan mobile, trouver le centre instantané de rotation I et le centre géométrique J des accélérations.

La recherche de ces points repose sur la propriété suivante :

Lemme. — L'axe radical du cercle de centre M et de rayon MI et du cercle décrit sur le rayon de courbure M0« de la roulette comme diamètre, passe par le point J.

Soit, en effet, j le point où cet axe radical coupe la droite IM {fig. 44 )î ^^ ^

My xMO, =MF' = Mr,

ou, en posant \j - y.

{r—j){r—r^) — r'^ ou

d'où

I I y ri

rri —jr-\-/ri=o

CIIAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE.

mais on a aussi

ii en résulte

JsinÔ /*, r

y zz: Jsinô,

c'est-à-dire que 7 est la projection de J sur MI, donc l'axe radical passe par J.

Cette démonstration suppose que les deux cercles se

Fig. 45.

coupent, il est aisé de reconnaître qu'elle subsiste encore, dans le cas contraire; prenons M pour origine et M0<

TRAITE DE GINEHATlQtJE.

>ur axe des x, les cercles onl pour équations (Jtg- 4^) w* -hy' — iAl ^^o, X* -i-y* — X X MOi i^ o,

où l'axe radical

Mi' — JT X MO, = My X MO, = (y' — r) (;-, — r) :

I, si c'est I, qui est centre iastantaaé, MÏ| = (-7 + r}(r-r,);

sst la même relation que précédemment.

REMARQdB. — Cette propriété nous fournit une déonstratîon purement géométrique de la relation

Ml' = MO, X MD

1 n" 61 ; il résulte, en effet, de ce lemme que le point j l l'intersection du cercle des inflexions avec la droite O,, c'est-à-dire qu'il se confond avec le point D et que ir suite l'équation

Mi'=^MO, xMy"

est autre que la précédente.

Cela posé, connaissant les rayons de courbure M0( et - Dg des roulettes de deux points, on aura d'abord le lint I intersection de ces deux normales; on construira suite l'axe radical des deux cercles relatifs au point M , qui donnera une première droite sur laquelle se troura le point J; le point N en fournira une seconde et point J sera à leur intersection. Ayant les points 1 et J, L pourra trouver le rayon de. courbure d'une roulette lelconque.

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTEME INVARIABLE. 89

63. Au lieu de se donner un point M et le centre de courbure 0< de sa roulette, on peut se donner une courbe mobile et son enveloppe, car alors le centre de courbure K de la courbe mobile et celui Oj de son enveloppe sont dans les mêmes conditions que M et 0|. Toutefois la construction est en défaut si )a courbe mobile est une droite, car son centre de courbure K est à l'infini et les deux cercles deviennent des droites perpendiculaires en I et O2 à la droite lOa normale à la courbe enveloppe. Dans ce cas, il suffit de remarquer que le point L symétrique du centre de courbure Oa par rapport au point 1 est sur le cercle des inflexions, donc J sera sur la perpendiculaire en L à IL, et cette droite remplacera alors Taxe radical.

64. Centre de courbure de V ellipse. — Considérons Pellipse décrite par un point M d'une droite AB {fig> 46 ) dont les extrémités s'appuient sur deux droites rectangulaire 0;r et Oy\ le point I est le centre instantané. Le point A décrivant une droite, le centre de courbure est à l'infini sur la normale et le cercle décrit sur le rayon de courbure comme diamètre est l'axe des x^ cette droite est aussi Taxe radical relatif au point A; il en est de même de Oy pour le point B, et le point J se confond avec l'origine O. On arrive immédiatement à cette conséquence en remarquant que A et B sont des points d'inflexion pour leurs trajectoires, donc ces points appartiennent à la circonférence des inflexions qui, de plus, passe en L Appliquant alors la construction de Savary modifiée, on a le centre de courbure O^ de l'ellipse décrite par le point M.

On peut encore obtenir le centre de courbure d'une ellipse à l'aide du tracé suivant.

Soit P le point où la normale IM rencontre Taxe des x^ élevons en ce point une perpendiculaire PH sur IM, puis menons par H où elle rencontre OM, une parallèle à Oy,

Fig. 46.

nous obtiendrons sur MI le centre de courbure 0<. Pour justifier cette construction, il faut démontrer que

Ïm'z=MOiXMD,

D étant le pied de la perpendiculaire abaissée de J sur IM. On a en efTet

MD MJ MK

MP ~ MH "" MOj '

d'où

MOixMD = MPxMK;

MK MB MPMA