OS = PS

D'après ce qui précède, le point S' décrira une courbe semblable à la podaire de S par rapport à la base, car S et S' sont symétriques relativement à la tangente IC, donc S' décrira une cissoïde. La podaire du pied O de la directrice étant une strophoïde, son symétrique P décrira une strophoïde.

68. Centre de courbure de la parabole. — Regardons cette courbe comme étant la base du mouvement précédemment défini; nous connaissons deux points I et B du cercle des inflexions {fig- 49)? ^^ plus J doit se trouver sur la normale à la courbe, il est donc au point de rencontre de cette normale avec la directrice, et le centre de courbure O de la parabole s'obtient en prenant 10 = 2IJ, en sens contraire de cette droite IJ.

Cette construction peut être dirigée comme suit en se fondant sur l'égalité des triangles rectangles JBI et J'AI : joindre le point I considéré au foyer A de la parabole, mener en A la perpendiculaire à ce rayon vecteur jusqu'à sa rencontre en J' avec la normale à fa courbe et doubler la longueur IJ'. On arrive directement à cette dernière construction si l'on remarque que la circonférence des rebroussements passe par I et le point fixe A et qu'elle admet par suite IJ' comme diamètre.

Ce qui précède permet de construire le rayon de courbure de la roulette décrite par un point quelconque du plan d'une parabole/ qui roule sur une 'de ses tangentes;

CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. gS

prenons en particulier le foyer A, 11 suffira, en appliquant la construction de Savary, de mener AO jusqu'à sa rencontre en Q avec une perpendiculaire à lA et de mener par Q une parallèle à 10 qui rencontrera la normale lA à la roulette du foyer au centre de courbure de cette roulette.

Fig. 49-

Il est aisé de reconnaître qu'on tombe ainsi sur le point G tel que IC = 2 lA, car de Fégalité des triangles rectangles AIQ et AGO on conclut que IQ est égal et parallèle à CO, donc la figure IQCO est un parallélogramme et QC est parallèle à 10. La roulette du foyer a donc son rayon de courbure AG égal et de sens contraire à sa normale AI, ce qui est une propriété caractéristique de la chaînette; nous retrouvons ainsi le résultat obtenu Indirectement au n« 44, 2^

E CINËHATTQtlE.

i ROULETTE DÉCRITE F

ii, dans un mouvement plan, toul point décrit une ; fermée, le mouvement du plan mobile est nécesïnt périodique, c'est-à-dire qu'au bout d'un certain le système reprend sa position initiale. Dans les !s de tranformation

x-=.a -i-Xcosa — Ysinn, j ;= t -h X sina -h Ycosa,

ipposerons que lorsque u, a augmenté, par exemple l'origine mobile (a, &) a repris sa position initiale, dire que a et & sont des fonctions de a admettant de ait.

pour expression de l'aire de la roulette décrite point {x,y)

A= W {xdy—ydx-)\ jn prend a comme variable,

dx^ (~-Xsin«-Ycosc;)rfa, dy^ ('^-HXcosa-YsincJrfif;

ix-.i