CONDITION POUR QU'UNE ROULETTE PRÉSENTE UN REBROUSSEMENT

71. Il y a rebroussement de la trajectoire d'un point quand sa vitesse passe par zéro, car alors la projection de la vitesse sur un axe quelconque change de signe et par suite le mobile rebrousse chemin ; or, si I est le centre

instantané, la vitesse d'un point M a pour expression IM X tt) et pour qu'elle soit nulle il faut que IM = o ou G) = o.

1° IM=:o, le point M coïncide avec le centre instantané, ce qui a lieu successivement pour les divers points de la roulante; la tangente de rebroussement est normale à la base.

2® <i) = o ; de la relation

on déduit R = R', c'est-à-dire que le centre de courbure de la roulante coïncide avec celui de la base. Ces deux courbes sont alors osculatrices et toutes les trajectoires présentent simultanément un point de rebroussement. On peut se demander dans quels cas ces rebroussements

sont de première ou de seconde espèce. Pour le voir, calculons le rayon de courbure correspondant M0< ; on a

__ MÎ* Ml' Ml'

* "■ MD "^ MI — ID — MI — IJ sin 6 '

lOO TRAITE DE CINEMATIQUE.

mais si w = o, IJ est infini et MOi nul, on a donc en général des points de rebroussement de première espèce. Cependant si = o, c'est-à-dire si le point M appartient à la tangente Ix, l'expression précédente prend une forme indéterminée; on vérifie alors que le rayon de courbure est fini, ce qui prouve que le rebroussement est de deuxième espèce. Si, par exemple, la roulante est une droite et qu'elle devienne osculatrice à la base, cette courbe présentera un point d'inflexion; la trajectoire d'un point quelconque de

Fig. 53.

la tangente d'inflexion aura un rebroussement de seconde espèce, puisqu'elle ne sera autre que la développante de la base (Jig- 53); il n'y a d'exception que pour le point de contact I dont la trajectoire n'a pas de rebroussement. En général, si la base et la roulante deviennent osculatrices, toutes les roulettes ont des rebroussements de première espèce, si l'on excepte les points de la tangente commune qui ont des rebroussements de seconde espèce.