DU GLISSEMENT
72. Une courbe mobile C restant toujours tangente à une courbe fixe C, on dit qu'il y a glissement simple lorsque le même point de G vient occuper successivement les divers points de C. Il y a roulement compliqué de glissement, ou plus simplement glissement lorsque le point
CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN D'uN SYSTÈME INVARIABLE. lOI
de contact change à la fois sur les deux courbes, mais sans que les arcs décrits parle point de contact sur ces courbes soient égaux.
Soient I et A les points de contact aux époques f et ^ -f- A^, {fis* 54) A' le point de G' qui doit venir en A, on appelle vitesse de glissement la quantité géométrique
V^^liD^TT-i
il est aisé de reconnaître qu'elle est dirigée suivant la tangente commune aux deux courbes G et G' et égale à la diffé-
Fig. 54.
rence des vitesses de déplacement du point de contact sur chacune de ces courbes. En effet, dans le triangle AIA', A'A est au moins égal à la différence des infiniment petits du premier ordre lA et lA', A'A^IA — lA'; d'ailleurs si de I comme centre avec lA' comme rayon on décrit Tare de cercle A'B, A'A est au plus égal à la somme AB -f- A'B, or AB = lA — lA' est du premier ordre et l'arc A'B du second, donc en négligeant les infiniment petits du second ordre, ce qui est permis si A'A est du premier ordre, c'est-à-dire s'il y a glissement, on aA'A^IA — lA'. De ces deux inégalités il résulte que
AA=iIA-TA,
d'où, en divisant par A^ et passant à la limite,
D'ailleurs
smA
ce qui exige, puisque A'A et lA' sont de même ordre, que l'angle A ait son sinus infiniment petit ou que la droite A'A ait la même direction limite que lA. c.q.f.d.
73. Glissement d'une courbe mobile sur son enveloppe. — Soient (/î^. 55) :
C et G' la base et la roulante,
D et D' deux positions infiniment voisines de la courbe
et E son enveloppe, M et M' les points de contact aux époques t et t-}- Ity
Fig. 55.
I et I| les centres instantanés correspondants, M^' le point de D qui doit venir en M'.
II n'y a pas roulement de D sur E, car autrement D serait la roulante et E la base et il y aurait deux points M et I de vitesse nulle.
CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. I03
Le glissement est ici, par définition
liai
lim ('j^r = t'^ = 0) X IM = V ( rr — — ) X IM.
DE L EPIGYCLOIDE.
74. L'épîcycloïde est la courbe décrite par un point du plan d'un cercle mobile qui roule sur un cercle fixe. On distingue trois espèces d'épicycloïdes :
I ® Les épicycloïdes ordinaires décrites par les points de la roulante.
2® Les épicycloïdes raccourcies fournies par les points intérieurs à la roulante.
3° Les épicycloïdes allongées provenant des points extérieurs à la roulante.
73. Coordonnées d'un point de Vépicycloide. — Soient O le centre du cercle fixe, O' celui du cercle
mobile et M un point de la figure mobile {fig* 56). Si nous considérons le rayon O'B passant par M, on exprimera
TRAITE DE CINBUATIQUE.
y a roulement par la condition
arc lA — arc IB.
:nons pour axe desj' la droite OA, pour axe des xie itre perpendiculaire et désignons par R et R' les s des cercles O et O', R' étant pris positivement le les deux cercles sont tangents intérieurement;
is
e — O'OA, ç^BOi et a = 0'M,
st inférieur à la valeur absolue de R' la trajectoire de M
ne épicjcloïde raccourcie, si a est égal à R', l'épi-
ide est ordinaire, enfin elle est allongée pour a supé-
àR'.
condition arc lA = arc IB est exprimée par
d'ailleurs, en projetant Vcontour OO'M sur les axes pelant K le point de rencontre de MO' avec OX,
a; = 00' X cosO'Oa; — O'M X cosOKO', y = 00' X cosO'Oj -F O'M X cosO'HO
ir=CR— R')3ine — «siD(e + 9), ^— {R — R')cos9 — flcos(9 -1-9). '
latLon Rô + R'ip^ o donne alors -t- œ ^ ke, et les .onnées x ely deviennent
jT =: -- kR' sin S — a sinkQ, y = — kR'cosO — acoskS.
CHAP. II. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTÈME INVARIABLE. Io5
76. Points de rebroussement ou d'inflexion. — Pour qu'il y ait rebroussement, il faut que le point M puisse veair dans une certaine position de la figure mobile, coïncider avec le centre instantané, ce qui n'est possible que pour les points de la roulante ; donc les épicycloïdes ordinaires ont toujours un point de rebroussement et sont seules à en avoir.
La trajectoire de M présentera un point d'inflexion si le point M peut venir sur le cercle des inflexions dont le diamètre J est donné par la formule
I — i JL T— ^^'
J n'est positif que si R > R' > o. Si, par exemple, les circonférences sont extérieures et que l'on pose R' = •— r , on aura
Rr
IJ est inférieur au plus petit des deux rayons R et r et il y aura inflexion si r — \i <ia<C r^ car alors la circonférence de centre O' et de rayon a rencontrera le cercle des inflexions; dans le cas des cercles extérieurs, les épicycloïdes raccourcies sont donc les seules pouvant avoir des points d'inflexion.
Pour que la tangente en un point M passe parle centre O du cercle fixe, il faut que ce point M se trouve sur la circonférence décrite sur 01 comme diamètre, ce qui exige que l'on ait, si les circonférences sont extérieures,
cela ne peut se présenter que pour les épicycloïdes allongées.
Io6 TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.
