Formes particulières de Vépicycloide

i*»a = o, répicycloïde se réduit à un cercle.

2® R' = 00 , la roulante devient une droite et ses différents points décrivent des développantes de cercle.

3® R = 00 , la base est une droite et les roulettes des cj'cloïdes ordinaires, allongées ou raccourcies, et ces dernières onttoujoui's des points d'inflexion.

4** R'= — j les épicycloïdes ordinaires se réduisent à des

droites et les autres variétés à des ellipses.

5® R'= — R, on obtient pour trajectoires des limaçons de Pascal. En effet, la base et la roulante étant symétriques par rapport à la tangente commune, les roulettes sont semblables aux diverses podaires de la base ; or la

podaire d'un cercle G relativement à un point quelconque P {fig' 57) est un limaçon de Pascal, car si Ton décrit un cercle sur PO comme diamètre et qu'on abaisse PK perpendiculaire sur une tangente quelconque au cercle C, on aura

PK zn: PA -h AK = PA 4- R ;

le lieu des points K s'obtient donc en prolongeant d'une longueur constante R, les rayons vecteurs du cercle de diamètre PO.

CHAP. 11. — MOUVEMENT PLAN d'uN SYSTEME INVARIABLE. IO7

Si Je point décrivant est sur la roulante, P est sur la base et le limaçon est une cardioïde.

6° R'=2R,les trajectoires sont encore des limaçons de Pascal.

Soient, en effet, un cercle C ^fig- 58), de centre O' roulant sur un cercle fixe intérieur C, de centre O et de rayon moitié moindre, I la position initiale du point de contact, P le point décrivant et M le point où le rayon

PO' coupe la circonférence C; le centre O' décrira le cercle C et si 0^'est sa position au temps ^, le centre instantané sera en Y à l'autre extrémité du diamètre 0"0I ; cherchons l'angle correspondant ô de la rotation. La formule

donne ca = — n > or, sans changer la forme des roulettes, on

peut supposer constante la vitesse V de déplacement du centre instantané, ce qui entraîne o) = constante, alors