MO

MI

on obtiendra le centre de courbure de la cycloïde en prolongeant la normale MI d'une longueur égale à elle-même.

E CINBMATIQUE.

5iR'=-,0( esl rejeté à l'infini, dans ce cas l'épi- ■\dide se réduit à une droite.

n f • T>i T, MO, 3

Enfin SI K^ ^ an, -rn- = ô*

' Ml 3

79. Enveloppes de diverses lignes invariablement es à la figure mobile. — i" L'enveloppe d'un diamètre cercle mobile est un épicycloïde ordinaire, (n''46,4")i" L'enveloppe d'une développante d'un cercle concen- ^ue à la roulante est une développante d'un cercle icenlrique à la base.

Soit, en effet, A' le cercle concentrique à la roulante

[ ie point où une développante de ce cercle iche son enveloppe, pour la position C de la roulante ;

est normale à la développante mobile et à son enveipe et par suite cette droite est tangente au cercle A'; plus la perpendiculaire OB abaissée de O sur cette norile est constante, en vertu de la similitude des triangles l'B' et lOB, donc les normales aux différents points de nveloppe d'une développante du cercle A' sont tangentes cercle fixe A de rayon OB, et par suite celle enveloppe

une développante du cercle A.

80. Longueur de Varc de Vépicycloide ordinaire, — L'angle de la droite mobile BO' {fig* 56) avec la droite fixe Oy étant égal à -i- 9, l'élément d'arc décrit dans la rotation instantanée par le point B est

^5 = IB X e/(cp-h6); or

IB = -.2R'sin-,

et, comme il y a roulement, on a la relation

donc

RÔ=: — R'cp, rfe — — — ûfcp,

ds=. — 2 RM I — -^ j sin - û?9

S r= 4R ( I — ^ ) cos- -h consl.

L'arc compris entre deux points.de rebroussement con sécutifs est

.= [4R'(.^^)co.|]"=-8R'(,-|

Pour la cycloïde R est infini, donc l'arc de cycloïde est égal à huit fois le rayon du cercle générateur.

La cardioïde s'obtient en faisant R' = — R, (ou encore R'= 2R) la formule précédente donne 5=:= 16R, donc l'arc de cardioïde est double de l'arc de cycloïde.

i DE CINRHATIQUR.