Axe Instantané de rotation

int d'aborder l'étude du mouvement d'un solidi? le invariable dans toute sa généralité, il convient ;r le cas particulier où le corps présente un point ide géométrique de ce mouvement repose sur le

ME. — Dans le mouvement d'un solide autour ii fixe, il existe à chaque instant une droite ce point, dont tous les points ont une vitesse les vitesses de tous les autres points du corps lémes que si le solide tournait autour de cette 'l'on appelle axe instantané de rotation.

)rème est dû à Enler et à d'Alembert ; ce dernier mduit en étudiant le mouvement de précessio». émontrerons d'abord le lemme suivant :

— On peut faire passer un solide qui présente fixe, d'une position à une autre, en le faisant lulour d'une droite passant par le point fixe.

CHAP. m. — MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. Il3

Du point fixe O, avec un rayon égal à Tunité, décrivons une sphère que nous supposons fixe, et soient A et B kfië' ^ ^ ) d^^^ points de cette sphère invariablement liés au solide ; ils resteront constamment sur la sphère, et leurs positions à un instant quelconque détermineront celle du triangle AOBlié au solide et, par conséquent, celle du solide lui-même ; il suffit alors d'étudier le déplacement sur la

Fig. 6i.

sphère des deux points A et B ou de Parc du grand cercle AB de longueur constante.

Soient donc AB, A'B', deux positions de cet arc, joignons AA', BB' par des arcs de grand cercle et élevons sur leurs milieux H et H' des arcs de grand cercle HI, H'I qui leur soient perpendiculaires, soit I leur point de rencontre ; les deux triangles AIB, A'IB'équilatéraux entre eux sont égaux, donc il en est de même de leurs angles en I

AlB=iA'IB-, d'où, ajoutant l'angle BIA',

AIA' == BIB' = a.

Donc, si l'on fait tourner la première figure de l'angle a

ViLUÉ. — Cinématique. 8

TRAITE DE CINEHATCUUi:.

autour du rayon 01 de la sphère, A viendra en A', B en B'

et le solide aura passé de la première position à la seconde.

Il pourrait se faire que les arcs de grand cercle 111 et H'I

coïncidassent; dans ce cas, à cause de la svmétric, BA et

Fig. 61.

B' A' vont se rencontrer sur ce grand cercle en I (yï^. 62). on voit qu'il suffît alors de faire tourner la figure d'un angle convenable autour de 01.

Appliquons ce lemme à deux positions infiniment voisines du système aux époques t et t -\- ^t el soient A et A'

Fig. 63.

{/ig. 63) les positions correspondantes d'un même point. 01, l'axe de rotation et K, le centre du cercle que décri-

CHAP. lir. — MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. Il5

raît A dans la rotation autour de 0I|. Pour calculer la vitesse v de A. dans le mouvement réel, on peut remplacer l'arc ACA.' de trajectoire par l'arc de cercle AA' de centre K|, qui a même corde, et l'on aura

(^=ihm AKi X -jr-;

soient alors 01 la position limite de OI4 quand A^ tend vers zéro, et r la distance AK du point A à la droite 01. Posons

a) = lim-— , A^

il vient

o> ayant, comme Aa, la même valeur pour tous les points à une époque donnée, mais variant généralement d'une époque à l'autre. En outre, la droite AA' est une perpendiculaire au plan mené par son milieu et la droite 01 1, donc à la limite la vitesse (^ est une perpendiculaire au plan mené par le point A et l'axe instantané OI.

Tout se passe donc, au point de vue des vitesses, comme s'il y avait rotation du solide à l'époque ^, autour de 01, avec la vitesse angulaire to.

Corollaire, — Les plans normaux aux vitesses, c'est-àdire aux trajectoires des différents points du système à un instant donné, passent tous par une même droite 01.

82. Remarques. — I. On appelle pôle instantané le point I d'intersection de la sphère avec l'axe intantarié; par ce point passent les arcs de grand cercle normaux aux trajectoires sphériques des différents points de la sphère. Autrement dit, les normales sphériques concourent en un même point qui est le pôle instantané 1.

. L'axe inslantané 01 change géaéralemeDt de siiua-

à chaque instant dans l'espace; il en est alors de le dans le solide. Car si 01 et CI, soqI deux positions iment voisines de l'axe instantané, ce n'est pas la ;e 01 du corps qui sera venue en 0I( , puisque 01 était

mais bien une autre droite OI' de ce solide.

[. L'axe instantané du mouvement diurne est variable

la Terre ; ce n'est donc pas toujours le même point de srre qui est le pôle. On démontre que ce pôle instan-

décrit sur la surface terrestre une circonférence de 7 de rayon.

(De Saint-Gemiain. — Exercices de Mécanique, p, i8i.)

. Étude analytique du mouvement d'un solide qui znte un point fixe. — L'étude géométrique de ce cernent, «jue nous avons faite, est incomplète, en ce qu'elle ne nous permettrait pas de calculer la rotaà laquelle ce mouvement peut se ramener dans des nstance» déterminées.

r le point fixe O faisons passer trois axes rectangui fixes Ox, Oy et O^ et trois autres axes rectangulaires OY, OZ invariablement liés au corps, entraînés avec t formant un Système direct comme le premier. Un . M du corps a des coordonnées fixes X, Y, Z et des lonnées absolues x,y, s variables avec le temps. s formules de transformation des coordonnées nous

i- p'Y -h p'Z, h/Y + fZ;

les neufs cosinus directeurs sont des fonctions du temps, liées entre elles par les diverses formules que voici, et dont six seulement sont distinctes :

tVH-p'^''4-YY 0,

toi! H- pp' H- yt' ;

3y 4- PY -H ?Y — 0,

xp H- a'p' H- a"Ô" ;

— ol'P" —

■ P'oc% y' . • . ,

ol" P" f

Cela posé, les composantes de la vitesse du point M s'obtiendront en dérivant les formules (i)

d?' , rjdp"

^f , V'^ï' , rZ^f".

dt'