R*ITÉ DE
ClMiUATIQUE.
en
fonction des coordonnées variables,
rfa.
fy+t=
lais, si l'on dérive les formules (5), on a
da I dx' „ da,"
peut donc écrire les composantes de la vitesse
i l'on dérive les formules (6), on trouve peut donc poser
CHAP. III. — MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARI.iBLE. II9
et les composantes de la vitesse prennent alors la forme
(11) I (;y=z:ri^ — p,^,
f ^z=Piy—Çi^\
ce sont précisément les composantes de la vitesse d'un point tournant autour d'un axe passant par l'origine et ayant pour projections les quantités /?|, Çt et r^, qui sont seulement des fonctions du temps. Donc la vitesse du point considéré est bien la même que s'il tournait, avec le solide, autour d'un axe dont les équations sont
Pi~ Çi~ '1
et la grandeur
84. Projections de la vitesse d\un point sur les axes entraînés, — Ces quantités ç^x? ^r» ^z ne doivent pas être
», , . , cDC dY dJj . ,,
confondues avec les quantités -j-, 77/ ^777^ 4^^ sont nulles,
puisque le point X, Y, Z est fixe par rapport aux axes mobiles.
On a
dt dt dt
M> TRAITE DU CINBHATIQUE.
: coefficient de X est nul et il reste
' V dt ^ dt f .do. ,„rf8
PosODS maintenant
di\^ ( do.' „ d6' rfl'\.
= rX~pZ, = ;.Y-?X;
; sont les expressions cherchées ; elles démontrent à noueau l'existence de l'aite instantané, car elles représentent is projections Sur les axes mobiles de la vitesse du point ., Y, Z tournant autour d'un certain ase de rotation )'Bnt p, q, r pour projections sur les axes entraînés. On a donc la relation
Enlîn il convient de remarquer que les S qui figurent ansp, <j,r se rapportent aux lettres et ceux de/'u^i, T) ux accents.
85. Autres relations entre les cosinus directeurs et ?urs dérivées. — Les relations (i3) définissent les quan-
CHAP. IIÏ. — MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 121
tités p^ q^ r et permettent inversement de trouver par
exemple -=-, -j^ et •— en fonction des cosinus directeurs * at at at
des axes mobiles et des composantes de la rotation instantanée.
Les trois formules contenant les dérivées cherchées sont
^ dt dt ^ dt ^ dl
'^-^' 5?-* di^^ Tt^^ W
dt dt ^ dt ^ dt
d'où les relations
(i6) l^=^qp" + rp',
Tt=-^'("^'"^''
et les suivantes
/ dcL
dt ~'
dt
(i6 ter) {^^^pp'^q^^
df
On en déduit encore
<ia ûfa' dd"
, d& db' rfp" <'7) '^Pdt-^^di-^''-di = ''^
d-t dV df ■
iPdt-^^-à-^'dF^''-
