Mouvement épicydoldal sphérique

86. Méthode géométrique, — Poinsot, auquel est.due la notion de l'axe instantané de rotation, a montré que le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe peut être ramené au roulement d'un cône mobile sur un cône fixe, ces cônes ayant pour sommet commun le point fixe.

On dit que deux cônes de même sommet O roulent l'un sur l'autre, si les courbes d'intersection de ces cônes par la sphère de centre O et de rayon égal à l'unité roulent l'une sur l'autre, le roulement étant défini comme dans le mouvement plan, par le contact des courbes et l'égalité des arcs compris entre le point de contact et des points fixes pris sur ces courbes.

Si les deux courbes sont deux petits cercles de la sphère, les deux cônes seront de révolution et les points de la figure sphérique décrivent des épicycloïdes sphériques.

Si la roulante devient un grand cercle, le cône correspondant est un plan et les roulettes sphériques prennent le nom de développantes sphériques.

Théorème. — Le mouvement le plus général d'un solide qui présente un point fixe, se ramène au roulement d'un cône invariablement lié au corps solide^

CHAP. III. — MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 123

sur un cône fixe. Le cône fixe est le lieu des axes instantanés dans V espace et le cône roulant le lieu des droites du corps qui deviennent successivement axes instantanés.

Soient 01 (fig* 64) l'axe instantané à l'époque ^; Oa, 0^, Oy, . . . , les axes instantanés aux époques ^4- A/, f H- aA^, t -+- 3A^, ... ; Oai, O^i, Oyo . . . les droites du corps, dans sa position à l'instant t^ qui deviendront suc-

Fig. 64.

cessivement axes instantanés à ces mêmes époques et enfin I, a, P, y, . . . , ai, ^4,71, . . . les intersections de ces diverses droites par la sphère de rayon égal à l'unité. Joignons ces points par des arcs de grands cercles. La rotation infiniment petite qui se fait autour de 01 amène Oa^ en Oa, donc ardai = arda, on verra de même que «1 Pi = a^, Pi* Y4 == Py, . . . ; dans cette suite de mouvements le polygone sphérique Ia4Pi yi . . . roule sur lagy . . . , donc en faisant tendre A^ vers zéro, on aura deux courbes sphériques, limites des polygones inscrits et qui rouleront l'une sur l'autre.