Etude analytique du mouvement épiçycloidal sphérique

Soient OA == 0) l'axe de la rotation instantanée à l'époque ^j P-i ^-i ^ ses projections sur les axes mobiles; A, B, C les coordonnées du point A par rapport aux axes fixes.

Cherchons d'abord les équations des cônes base et roulant.

i" Equation du cône base. — Le point A différent de I, ne se meut pas en général sur une sphère parce que d) est variable; ses coordonnées par rapport aux axes fixes sont

A m j9a -h q^' -h ra",

et les équations de la droite OA dans le système fixe sont

A, B, C étant des fonctions du temps ; l'élimination de t entre les équations (i8) donnera l'équation du cône base. 2" Equation du cône roulant, — Pour établir l'équation de ce cône rapporté aux axes fixes à l'époque t^^ considérons la droite 0A| du corps qui doit devenir axe instantané à l'époque t\ cette droite faisant partie du corps a toujours mêmes projections sur les axes entraînés et comme elle aura pour projections /?, q^ r à l'époque i, ce seront aussi ses projections à l'époque t^. Donc, à cette époque t^^ elle aura pour projections sur les axes fixes

Ai=i/?ao-+-^a; H-ra';, Cl =/?To 4- ^Ïo-Kry;;

par suite les équations de cette droite sont

Eliminant t entre les équations (19), on aura l'équation du cône roulant dans la position qu'il occupe à l'époque t^ .

Les équations (18) et (19) peuvent d'ailleurs être considérées comme représentant l'une le cône base, l'autre le cône roulant, puisqu'elles donnent les génératrices de ces surfaces en fonction du paramètre variable t,

88. Les équations de ces cônes étant obtenues, il faut montrer que ces surfaces ont même plan tangent à l'époque arbitrairement choisie t= to.

Le plan tangent au premier cône, le long d'une génératrice est la limite d'un plan mené par les deux droites

k-h^k B-i-AB~G-hAG

ou par l'origine et les deux points (A, B, C), {\ + AA, B -h AB, C -f- AG) ; son équation est donc

ou bien