AA

Yto = lim

On appelle accélération angulaire la grandeur géométrique OJ = Yto passant par le point O et qui a par consé-

dp\ dq^ dr* ^ i • •

quent pour composantes -^> -—-^ —rr* bon nom lui vient

de ce que l'on traite o) et o + rfw comme des vitesses pour former le triangle de l'accélération angulaire.

L'accélération angulaire étant parallèle à la droite AA'

CHAP. III. — MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 129

tangente à la courbe lieu des points A, est dans le plan tangent commun aux cônes base et roulant, le long de l'axe instantané OA.

Les équations (21) nous montrent que l'accélération d'un point M peut être considérée comme la somme géométrique de deux autres; la première ayant pour projections sur les axes

dq, dr* dr^ dp* dp* dq*

dt^ dt^' dl dt "' dt ^ dt '

est due à l'accélération angulaire, on voit que ses composantes sont celles de la vitesse qu'aurait le point M s'il tournait autour de OJ considéré comme axe de rotation ; elle est donc dirigée suivant la droite MN perpendiculaire au plan MOJ, et égale à OJ multiplié par MP distance du point M à la droite OJ.

Quanta la seconde accélération, elle est nécessairement ce que deviendrait l'accélération de M si l'accélération angulaire était nulle, c'est-à-dire si l'axe instantané était constant de grandeur et de direction ; or, dans ce cas, l'accélération serait centripète, c'est-à-dire dirigée suivant la perpendiculaire MQ à l'axe de rotation et égale à

MQ X OA . Il est d'ailleurs facile de le vérifier en prenant l'axe de rotation pour axe des z ; on aura alors

et les composantes de la seconde accélération se réduisent à

ce qui prouve que cette accélération est centripète.

De ce qui précède résulte le théorème suivant dû à Rivais.

ViLUÉ. — Cinématique, 9

TH&tTE DE CINEUATIQIIE.

)RÈBE. — Dans le mouvement d'un solide autour

oint fixe, l'accélération d'un point est la somme

Irique de deux accélérations :

tremière due à l'accélération angulaire est nor-

'.u plan du point considéré et de l'accélération

lire et égale au produit de cette accélération par

ince au point considéré.

féconde, qui est l'accélération centripète, est

suivant la perpendiculaire abaissée du point

ce de rotation, et égale au produit de cette dis-

>ar le carré de l'axe instantané.

léorème permet de construire le plan osculateur ei

I de courbure de la trajectoire d'un point.

^itesse de roulement. — La vitesse de déplace-

II pôle instantané I, sur la spbère de rayon égal à se nomme vitesse de roulement; on l'introduit de préférence à l'accélération angulaire dans les

s qui donnent les composantes de l'accélération

int.

la,b,c les coordonnées du pôle instantané, on a

da d<j> "'" dt'^'^ dl

db , rfw

^•"Tt^^dt

;, -j-, -57 sont les composâmes ae la vitesse de nt V, en sorte que si l'on désigne par a',b',c' les

CHAP. Iir. — MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l3l

cosinus directeurs de cette vitesse, on aura

dt"^''' dt-^^' dt-^""'

et par suite.

dpK ,, , diù

dq^ ^j diù

dr^ -, , ûfo)

-— - =: 0) Yc' -h C -7- •

dt dt

Substituant dans les formules (21), les valeurs de /?i, ^^, r^ et de leurs* dérivées, nous aurons

(22) ^ Yr =^ ^^ (^^' — ^^') ^" "t" (^^ — ^^) "^ «»>^^Saa7 — w^j, Y-zn: a)V(ja' — a?6') -H -j- (ja — ^^) + tù-c^ax — o)*^.

Les termes renfermant la vitesse V proviennent de la variation de position de l'axe instantané, ce seraient les seuls qui disparaîtraient si l'on supposait V = o, c'està-dire cet axe fixe de position et non de grandeur, dans l'espace. Les autres termes représentent par suite les composantes de l'accélération tangentielle et de l'accélération centripète, dans le mouvement d'un corps autour d'un axe fixe.

93. Détermination des composantes de V accélération avec un choix particulier d^axes coordonnés, — Quand, dans un problème, on se place à une époque donnée, il est commode de prendre l'axe instantané de la rotation

l3a TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.

pour axe des z^ ce qui entraîne

Pi—Çi— O:

ri^zo),

et le plan tangent aux deux cônes pour plan des zjc; on voit que l'accélération angulaire y^ étant dans le plan zOx, il faut faire en outre dans les formules (21)

dt

= o ; ces formules deviennent alors

tx —

'^^'dt

drx "di

dpx dt

Qiicnt aux formules (22), on voit qu'avec ce même choix d'axes il faut y faire d'abord

rt = 6 1=0,

remarquant ensuite que la vitesse V est perpendiculaire à 01 dans le plan ^sO^ et par suite parallèle à O^, on a, si l'on prend O^ de même sens que V,

ft'=i c'= o, a'=r I ;

d'où

— la^œ.

dtù ,

On retrouve aisément ces dernières formules si l'on remarque que les termes contenant V ne sont autres que

CIUP. III. — MOUVEMENT DUN SYSTÈME INVARIABLE. l33

les moments ( ^ ) par rapport aux axes coordonnés de la quantité géométrique — wV menée par le point M parallèlement à la vitesse de roulement ; quant aux autres termes, ce seraient les projections sur les mêmes axes des composantes tangentielle et centripète de l'accélération si O^ était fixe (n® 51).

Remarques. — I. Il n'y a qu'un point d'accélération nulle, le point fixe O. En effet, si dans les formules (24 ) on fait

ïx = ïy = ïz = O,

Il vient, en supposant wV^o,

j^zno, J7 =: o, ^ = 0.

Toutefois, si wV = o, on a seulement ^r = o, j^ = o et tous les points de l'axe de rotation ont une accélération nulle.

II. L'accélération d'un point de l'axe instantané, dans le cas général w V ^ o, est parallèle à O^ et égale à — iùYz.

• 94. Projections de V accélération d'un point sur les axes entraînés. — Ces projections ont absolument les mêmes formes que les projections sur les axes fixes, sauf le changement de x^ y^ z en X, Y, Z et de jd^ , q^^ ^^ en/?, q, r.

Prenons en effet des axes fixes coïncidant à l'époque

(*) On appelle moment d'une droite par rapport à un axe le moment de la projection de cette droite sur un plan perpendiculaire à l'axe, par rapport au pied de l'axe. On donne le signe + ou le signe — à ce moment, suivant que le sens de rotation de la droite relativement au pied de l'axe est lui-même positif ou négatif.

ITÉ DE CINÉMATIQUE.

ivec les a>

^es mobiles, on aura

•fa: — T:'.

7r = Yi'

à prouver que

dt

dqi dq ~di ~ di'

dr, dt

énéralement

Pl-

— ap --i- Oi' q -^ '

ïV.

ia des relations (17),

dp , dq

„dr

dp, dp

~ëh~ 'di'

ê, on a les formules

rffl dq dr ,,

-7-, -~ , -.- sont, d après ce qi dt de de ' \ ^

e l'accélération angulaire sur les

CHAP. III. — MOUVEMENT D'uN SYSTEME INVARIABLE. l35

On a encore

(26) { YT==toV(Xc' — Za')-t- ^(Xc — Za) + a)''(6SaX~ Y), Yz=a)V(Ya'-X6') + ^(Ya-X6)4-(o2(cSaX-Z).

Dans ces formules, a, b, c, a', 6', c' sont les cosinus directeurs de l'axe instantané de rotation et de la vitesse de roulement par rapport aux axes mobiles.