GentrelB de courbure géodésique
9S. Belation entre la vitesse angulaire de rotation et la vitesse de roulement. — Désignons par w la vitesse angulaire, V la vitesse de roulement, a et 0! les angles de l'axe instantané avec les droites polaires des deux courbes sphériques S et S', intersections des cônes base et roulant avec la sphère de rayon égal à l'unité; on a la relation
(27) :r7= Zt 75
' V tanga tanga
on prendra le signe -f- ou le signe — suivant que les courbures des courbes S et S' seront ou non opposées, c'est-à-dire suivant que les deux cônes seront extérieurs ou intérieurs au voisinage de la génératrice de contact.
Soient en effet :
K le point fixe sommet des deux cônes {fig> 66) ; I le pôle instantané ; C le centre de courbure de la courbe S en I, c'est le
point de rencontre de la droite polaire KG avec le plan
osculateur à la courbe en I ;
O le point où la droite pol contre le plan langent en
C( et C[ les courbes que dé les cônes base et roulant, i des courbes S el S', l'œil > Le pointOestle centre de
la section oblique faite dans
de S a pour section normale elle a d'ailleurs C pour cei courbe S est à la fois sur d'après le théorème de Meu projection sur le plan obliqi section normale C, , donc le en O sur le prolongement osculaleur de S.
De même le centre de et Irois points O, I et O' sont i à la vitesse V.
Cela posé, les arcs Infinin et IM des courbes S et Ci s
une quantité moindre que
CHAP. III. — MOUVEMENT d'UN SYSTÈME INVARIABLE. iSy
on a également I/i = IN et comme les arcs Im et ïn décrits par le point de contact, dans le temps A ^, sur les courbes S et S', sont égaux puisque ces courbes roulent Fune sur l'autre, il en est de même des arcs IM et IN. Donc tout se passe à l'époque t, au point de vue des vitesses, comme si dans le plan tangent en I à la sphère, C[ devait rouler sur Ci, d'où la relation (n** 54)
10 10' tanga tanga'
Théoriquement on mettra le signe — dans la formule, sauf à regarder a' comme négatif quand les courbures seront opposées.
96. Pour démontrer par l'Analyse la formule qui précède, nous établirons d'abord une relation entre les trois angles et un côté d'un triangle sphérique ABC dont deux des angles B et C sont infiniment petits, le troisième angle A' étant par suite voisin de deux droits.
On a, en général
ces A' = — cosB cosG -h sinB sinC cosa,
ou en appelant A F angle supplémentaire de A', angle qui dans le cas actuel est infiniment petit,
cosA := cosB cosG — sinB sinG cosa;
on en tire en développant
ï —+...=:( I h... Il I h... I
et enfin
— cosa (B — . . . ) (G — . . . )> A2 ::: B« + G^ + 2BG cosa.
TRAITE DE CINEHATIQVE.
maintenant, sur la sphèi-c de rayon égal à l'unité, , S' la roulante i^fig- 67), I et \\ les pôles instanc époques / et ^ -)- ii(, l' le point de S' qui vient et A' les traces sur la sphère des droites polaires
' en I, ou centres de courbure géodésique de ces
arcll' ^ arcll, =: is.
Il du temps Aï, l'arc de grand cercle l'A' se place jlongement de l'arc de grand cercle AI, en sorte ;st l'angle infiniment petit de ces deus. arcs, on a
e précédemment établie donne d'ailleurs, si l'on par R =; lA, R'^^IA' les rayons de courbure ue des courbes S et S',
mm-m-
CHAP. m, — MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. iSg
or, dans le triangle sphérique IAI| , on a
sinA
sinlf
siiiili
sinK
d'où
lim --
sinR^
et de même
,. A' lim -—
A5~" sinK'^
don<
= ^' r--W+-"4û7+ • u' T,. cos(R + R^) I sm*R sm*R' sinRsinR'
~ ' [tang^R "^ tang-R' "^ tangR tangR' J '
et enfin
co = V — ^-h
tangR tangR'
c'est la formule (27) dans le cas où les courbures sont opposées.
97. Centre de courbure géodésique d^une roulette sphérique. — Soient M {fig* 68) un point de la sphère appartenant à la figure mobile, r et 6 ses coordonnées polaires sphériques et M' la position de M au temps t-{- ^t\ les arcs de grands cercles MI et W\\ sont normaux à la roulette de M, ils se rencontrent donc au point Oi , qui tend vers le centre de courbure géodésique de M, et les coordonnées de ce point 0< sont et /•< = — 10^. D'ailleurs l'angle e de la rotation pendant le temps A^ est celui de Tare MF avec sa situation M'I^ à l'époque t + A^^ et l'on a comme précédemment
0) = lim -— •
IJO TRAITE DK cmÉIIATIQUE.
Or
t' = M' + Oî + 3MxO,cos(/ — r,).
d'où
(iy=(^y[(Ë)'-(sy-s^"-"-4
d'ailleurs le Inangle sphérique Mil, donne
sînM si siniS-
sinMl'
et à la
limile
lim^-
sine
on aurait de mênif
donc
lim
AS~ si
in a .0,1^
sinC sln/-
sin"e
[dr,^
isr;-
