Axe hélicoïdal

99. Lemme I. — . On peut toujours amener un solide d^une position S à une autre position S^ par une translation suivie d^une rotation.

Soient en effet A et A' les deux positions d'un même point du corps; imprimons à S une translation égale et parallèle à AA', S vient en S'' et pour passer de S'' à S', on est dans le cas d'un corps ayant un point fixe A'. On voit donc qu'il suffira pour amener la coïncidence de S^' avec S' de faire tourner le système autour d'un certain axe A'I passant par le point A', ce qui démontre le lemme énoncé.

100. Le point A étant quelconque dans le système, on peut choisir entre une infinité de translations à chacune desquelles correspond une rotation ; ce qu'il y a de remarquable c'est que : la direction de Vaxe de la rotation, ainsi que V angle a de cette rotation sont indépendants du point choisi pour faire la translation.

Pour le démontrer, prenons successivement, pour faire la translation, -deux points A et B {fig. 70) et soient A'I, BT les axes de rotation correspondants. Considérons dans

■ 44 TRAITÉ DE CINÉHATIQL'E.

la première position du système un plan P ] perpendiculairement à A'I et la section C qu'il le solide ou, plus généralement, une courbe invariablement liée au système.

La première translation déplace le plan Ppa

à lui-même et l'amène en P* et C en C", puis tion autour de A'I, P" glissant sur lui-mêr position finale P" qui amène la courbe C en C B" en B'. Passons maintenant au second mode ment; dans la translation BB', le plan P vi fondre avec le plan parallèle FP", puisqu'ils l'un et l'autre le point B', C prend la position plan et pour amener S" en C il faut faire toi lr"me autour d'un axe BT perpendiculaire à î dire parallèle à A'I.

L'angle a de la rotation est également indt

CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTEME INVARIABLE. ' l45

point A; si nous considérons, en effet, une droite D du plan P, la translation l'amène en D'' parallèle à D et la rotation en D', et l'angle a de la rotation est l'angle des droites D' et D" ou encore des droites D' et D ; il est donc absolument indépendant de la translation, puisque c'est l'angle des positions initiale et finale de la droite D.

101. Lemme II. — La vitesse d'un point quelconque B dans le déplacement réel d'un système invariable, est Ici somme géométrique de la vitesse d'un autre point A et de celle qu'aurait B tournant autour d'un axe issu de A avec une certaine vitesse angulaire w. La direction et la grandeur de l'axe de rotation sont d'ailleurs indépendantes des points A e^ B.

Soient A, B; A' et B' {fig> 71) les positions initiale et

Fig. 71.

finale des deux points considérés, aux époques ^ et ^ + A^ ; on peut amener B en B' par une translation BB" égale et parallèle à AA' suivie d'une rotation autour d'un axe convenable A'F; la direction de cet axe ainsique l'angle Aa de la rotation élémentaire étant d'ailleurs indépendants

ViLLiÉ. — Cinématique. 10

l46 . TRAITÉ

des points A et B. Or le /BB'\ /BB''\

ou en remplaçant les cor passant à la limile,

Soient alors AI lapositio] du point B à la droite AI ;

la quantité géométrique < par le point B et l'axe A bien la somme géométrie celle qu'aurait B tournac laire u autour de la droit la grandeur et la direct A s'appelle axe correspi

102. Théorème. — De d'un solide, ily a à ch< seule dont tous les pou translation dirigée suif autres points sont les autres dues l'une à un et parallèle à celui de vement de rotation auti

La droite dont il s'aj rotation et de glissemei

On énonce plus simplt

CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL D'uN SYSTÈME INVARIABLE. l^J

Le mouvement le plus général d'un corps solide est un mouvement hélicoïdaL

Soient, en effet, A un point quelconque du système, AI = 0) {Jig' 72) l'axe correspondant, V la vitesse du point A, et Y l'angle de cette vitesse avec AI; sur la perpendi-

Fig. 72.

culaire AM au plan VAI prenons un point M, on aura, d'après le second lemme,

or, la composante V de ^m peut être regardée comme la somme géométrique de deux autres, l'une \" suivant la parallèle MF à AI et l'autre V perpendiculaire au plan l'MA, et cette dernière placée suivant la même droite que wr, sera dirigée en sens contraire si l'on a choisi convenablement le sens de AM. Si donc on prend la distance AM = r telle que

les composantes V et wr se détruiront et l'on aura

^ic = V'' = Vcosy;

l48 TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.

le point M est donc animé de la vitesse V" parallèle à AI, et il en sera évidemment de même de tous les points tels que M' de la droite MF qui admettent pour leur vitesse les mêmes composantes que M. On démontre ainsi l'existence de l'axe hélicoïdal qui jouit encore de cette propriété d'être le lieu des points de vitesse minimum puisque V" est la projection sur cette droite de la vitesse V d'un point quelconque A du système.

La seconde partie du théorème résulte du dernier lemme.

Enfin l'axe hélicoïdal est unique ; en effet, la vitesse d'un point pris en dehors de cet axe étant la résultante de deux autres dont l'une est V, tandis que l'autre est perpendiculaire à V, est nécessairement différente en direction de la vitesse V"; d'ailleurs, pour que les points d'une droite autre que l'axe aient même vitesse de translation, il faudrait que tous les points de cette droite fussent à la même distance de l'axe, ou que cette droite fût parallèle à l'axe; mais alors la vitesse commune des points de cette droite aurait une direction différente de cette droite, puisque les points de l'axe ont seuls une vitesse parallèle à sa direction, il n'existe donc à chaque instant qu'un seul axe hélicoïdal.

103. Remarques. — I. La direction de l'axe hélicoïdal à un instant donné peut s'obtenir si l'on connaît les vitesses de trois points A, B, G du système, en remarquant que ces trois droites ont même projection sur l'axe; menant alors par un même point O trois droites égales et parallèles à ces trois vitesses, le plan passant par leurs extrémités sera normal à l'axe et la vitesse V sera la perpendiculaire abaissée de O sur ce plan. Enfin l'axe hélicoïdal étant connu en direction, si Ton mène l'axe AI

CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INVARIABLK, l^g

correspondant au point A et que l'on construise la composante normale au plan AIB de la vitesse V< du point B, le quotient de cette composante par la distance r de B à AI donnera w; on pourra donc construire Taxe hélicoïdal.

IL Si la vitesse d'un point quelconque A était perpendiculaire à l'axe de rotation, on aurait V' = V cos y = o, l'axe hélicoïdal aurait une vitesse nulle et l'on serait, à l'instant considéré, dans le cas particulier du mouvement d'un solide autour d'un axe fixe.

III. A une époque donnée, tout se passe, au point de vue des vitesses, comme si le corps était animé d'un mouvement hélicoïdal, c'est-à-dire comme si tous ses points décrivaient des hélices ^de même pas, tracées sur des cylindres de révolution ayant pour axe l'axe instantané de rotation et de glissement.

Soient, en effet, dans un tel mouvement, O^ l'axe des cylindres et h le pas des hélices, les coordonnées d'un point sont

;r = rcosô, r=:rsinô, ^ =: — Ô,

d'où

dœ ' ^ d^ dy ^ d^ dz h dQ

-7- = — rsmO-T-, -— z=z r cosQ -r y -7-= r\

de dt dt dt dt 2TZ dl

posons

dt 2TZ

les composantes de la vitesse deviennent dx dy dz

ce sont bien les formules qui donnent les projections de

l5o TRAITE DE CINEMATIQUE.

la vitesse daas le mouvement du corps autour de Oz, axe instantané de rotation et de glissement.

104. Dépldcement d^un segment de droite. — Au lieu d'avoir à chaque instant un axe hélicoïdal unique, on en a dans ce cas une infinité. Soient, en effet, AJB {fig. 71) le segment de droite, A'B' sa position infiniment voisine et A'B'^ parallèle à AB ; si par le milieu de la corde B''B' on mène un plan qui lui soit normal, toute droite de ce plan passant par A' pourra être prise comme axe correspondant au point A, et à chacune de ces directions répondra un axe hélicoïdal. Parmi tous ces axes, il y en aura un normal à la vitesse de A qui sera par suite un axe simple de rotation. On pouvait arriver immédiatement à cette dernière conclusion, en remarquant que tous les points de AB se déplacent parallèlement au plan BB^B'et que Ton est, par suite, dans le cas du déplacement d'un système invariable parallèlement à un plan, mais ce plan varie à' chaque instant.

En résumé, le déplacement infiniment petit d'un segment de droite dans l'espace peut s'obtenir au moyen d'une rotation autour d'un certain axe, et l'on peut énoncer cette propriété due à Chasles :

Les plans normaux aux trajectoires de tous les points d'une droite se coupent. suivant une même droite,