Représentation géométrique du mouvement

Proposons-nous de rechercher les équations et les propriétés des deux surfaces réglées, l'une fixe, l'autre mobile, qui sont la première le lieu des axes hélicoïdaux dans l'espace, la seconde le lieu des droites du corps, qui doivent devenir successivement axes hélicoïdaux à des époques distinctes.

106. Lieu des axes hélicoïdaux dans l'espace. — L'axe hélicoïdal à l'époque t a pour équations, par rapport aux axes mobiles,

P-h^Z-rY QH-rX^^Z R-f-i?Y — yX SP^ p a /• 0)-

CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l53

d'où P + ^Z — rY = -i [P (/?» -+- ^« + r2 ) — P^« — Pr' H- Qpq -^ Rpr],

qZ — rY = q ^^ ^ — - — r 5 — -:

posons pour abréger

■ Rq-Qr P/ - Rp Qp-Pg

les équations de l'axe deviennent

IqZ — rY^iqZi — rYi, rX^pZ = rX,—pZi, pY-qX=pY,-qX,,

Ces équations qui, en réalité, se réduisent à deux, montrent que le point X| , Y^ , Z< appartient à l'axe hélicoïdal ;

d'ailleurs les cosinus directeurs de cette droite sont -» 9 ^,^

- et —) on peut donc écrire comme suit les équations de l'axe hélicoïdal par rapport aux axes entraînés

Y = Y, + pi,

Z = Zj 4- p — ,

p désignant la distance afTectée d'un signe convenable, du point X^, Y,, Z| au point X, Y, Z de la droite; on en lire

a^ = a-h (aXi + a' Y. + a"Z, ) -h ^ Up -h a'ûr + a'^r),

les équations de l'axe hélicoïdal rapporté aux axes fixes

l54 TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.

sont donc

(7) |/ = *4-(pX, + p'Y. + p"Z,)+£.y„

/?i, gr^ et Ti étant les projections de la rotation o sur les axes fixes; elles donnent ^,J^, z en fonction des variables t et p. Si l'on éliminait ces variables, on aurait l'équation de la surface fixe, mais il est préférable de regarder les équations (7) comme représentant la surface.

107. Lieu des axes hélicoïdaux dans le corps, — Nous chercherons l'équation de ce lieu rapporté aux axes fixes, le corps étant pris dans la position qu'il occupe à r époque Iq, Nous avons obtenu les équations par rapport aux axes entraînés de la droite du solide qui devient axe hélicoïdal à l'époque t^ on en déduit les équations de cette droite par rapport aux axes fixes, à l'époque Iq^

{x) — a^ -h aoXj -H a^Yi -^aoZi -^ £.(ao/? -h a;^ -h < r),

Ces équations qui donnent {x), (7) et {z) en fonction de t et p, représentent à l'époque ^0 la deuxième surface rapportée aux axes fixes.

Pour t^= Iq el pour une même valeur de p, on aura

CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL D*UN SYSTEME INVARIABLE. l55

les équations ("j) et (8) représentent alors une même droite commune aux deux surfaces, c'est l'axe hélicoïdal à l'époque ùq,

108. Les deux surfaces se raccordent en tous les points de leur génératrice commune. — Le plan tangent à la surface (7) a pour équation, en représentant par X, Y, Z les coordonnées courantes

ày

Pour t = ^0) 1^ point Xj y, z étant supposé sur la génératrice commune, on aura d'après (7)

àx__Pi ao;Po-haoyo-f-ao/-o fax

\àp En outre ^ ne diffère de ( -r- j que par des termes en

da .

dt'

doL di

on aura donc, mais seulement pour t= tQ,

dx__f dt~\

dx\ da ^ dd „ d(xl dx" ^ ( d% d(sl doi"\

ce dernier terme est nul à toute époque. De plus, si l'on appelle^! yi z^ les coordonnées absolues du point Xi Y^ Tj^ de l'axe hélicoïdal supposé lié au corps, on a

dx^ da ^ d<x d<x' „ dx"

'dt-"dt^^'Tt^^''dt'^^'Tt'

■ 56 TRAiTR ne cinématique.

d'ailleurs ce point étant sur l'ase hélicoïdal, sa v est dirigée suivant cet axe et a, par suite, pou

directeurs relativement aux axes fixes — j — j donc

__t ^ V' -Cî ^ - (ap + a'^ + a",.}.

On en conclut, pour t = {„,

et enfin

(lO)

Wp7

L'équation du plan tangent à la surface (7) j s'écrire