Les aires entourées sur tes deux sur/aces par

courbes correspondantes sont égales. — Il suffit,

ir le prouver, de montrer que les éléments infinité-

F"ig- 74-

aux correspondants ont même surface. Nous prendrons ir élément d'aire sur la surface fixe l'aire comprise re la génératrice commune D, la génératrice infiniment iine D' {Jig;. 74 ) et deux courbes quelconques infiniat voisines AA', BB', soit AA,BB, l'élément correspon- ,t delà seconde surface. Ces éléments sont assimilables es trapèzes de mêmes bases, îl suffit donc de prouver

rfisln(rfp, rfs) — di, sin(rfp, ds,),

GHAP. IV. — MOUVEHENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INVARIABLE iSg

OU que

c?5'[i — cos'(c?p, ds)]^=ds\[i — cos'(t/p, dsi)]. Or

cos(rfp, a,.^^Pida^-^<7.dy-^r,dz^ "^ oids

rf5ni-cos«(4, ^,)] = ^î?!^^lzil^^^ + ^i^r-^-n^^)«

{p\-hg\'^r*^)(dx*-\-dy*-+'dz*) — {pida^'\'q^dy'\'ridzy

Jl(p^dy — q^dxY

Il faut prouver que cette expression ne change pas quand on passe de l'une à l'autre surface ; or on a

dxT=z{dx)-hy\(^\dt=z{dx)-hy\^dt,

d'où

:=Pi{dy) — qi{dx) G. Q. F. D.

H 1 . Vitesse de Vaxe hélicoïdal. — La vitesse V"' commune à tous les points de l'axe hélicoïdal est donnée par les formules (5)

p q r ^' i/^ÏTF+^'^^'

Si l'on a, à l'époque ^, SP/? = o, c'est-à-dire si la vitesse

l6o TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.

du point A est perpendiculaire à l'axe de rotation, on a V" = o. Le mouvement à l'époque considérée est un mouvement simple de rotation et la formule (ii) devient dx =z(^dx). Il y a dans ce cas contact et roulement des courbes correspondantes, et si cela a lieu à toute époque, les deux surfaces réglées sont dites rouler l'une sur l'autre; ces surfaces ne sont pas des cônes, car il ne s'agit pas, du moins en général, du mouvement autour d'un point fixe.