Vitesse d'un point matériel

4. On nomme système invariable un système géométrique de points qui reste toujours superposable à luimême ; les distances respectives de ses points restent, par conséquent, constamment les mêmes.

Trois points déterminent la position d'un système invariable, car tout autre point du système est déterminé par ses distances invariables et connues aux trois points considérés et par la condition que dans toutes ses positions le tétraèdre formé par ces quatre points reste superposable au tétraèdre initial.

Tout système mobile, invariable ou non, pouvant être regardé comme un système de points mobiles, il est naturel de commencer par l'étude du point matériel isolé.

Soit M {fig* 4) uïi point décrivant une courbe, que l'on nomme sa trajectoire, suivant une loi donnée, de manière, par exemple, que l'arc s décrit à partir d'une origine A, soit une certaine fonction du temps, et soient M et M' ses positions aux temps t et t-{- ù^t\ on appelle grandeur de la vitesse du point M, à l'instant ^, la

quantité

, ,. arcMM' V=:lim ,

quand A/ tend vers zéro, et l'on porte cette longueur sur la tangente à la courbe en M, dans le sens du mouvement effectif. Ce sens peut d'ailleurs n'être pas le même que

Fig. 4.

celui qui a été pris pour sens des arcs positifs, mais on peut dire, en tous cas, que la vitesse est la grandeur

ds géométrique (^=—5 portée sur la tangente, dans le

sens des arcs croissants, mais en tenant compte de son signe. En effet, si (^ > o, ou rf^ >> o, le mouvement a lieu dans le sens des arcs croissants et la grandeur V = (^ doit être portée dans le sens positif. Si i^ << o, rf^ << o, le mouvement a lieu dans le sens des arcs décroissants, la grandeur absolue V de la vitesse est — (^ et elle doit être portée dans le sens des arcs décroissants, ce qui revient à porter v dans le sens des arcs croissants, en tenant compte de son signe.

S. Quand l'espace parcouru par le point mobile croit

CIUP. I. — MOUVEMENT D'uN POINT MATÉRIEL. 7

proportionnellement au temps y le mouvement est dit uniforme. Si donc ^o désigne l'arc de trajectoire compté à partir de l'origine A des arcs jusqu'à la position occupée par le mobile à l'époque t^^ on doit avoir par définition

s — SQ^=^a{t — to), d'où

ds ç=z -r-z=za:

dt '

donc alors la vitesse est le rapport constant de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir.

6. ïnÉORÈME. — La projection sur un axe, ou sur un plan, de la vitesse d'un point mobile, est égale à la vitesse de la projection du point sur cet axe ou sur ce plan.

MM dans le A^, la grandeur géométrique — — portée sur MM'

mm!

En effet, mml étant la projection de l'arc MM' décrit

prolongé a pour projection "^'^ portée sur la direction

mm! , A la limite, on conclut que la projection de la vitesse du point M est celle du mouvement du point m, projection du point M.

7. Projections de la vitesse en coordonnées rectangulaires, — La vitesse du point m, projection de M sur

Ox^ étant -7-^ puisque pour /w, s—~-x^ les projections de

la vitesse de M sur les trois axes coordonnées sont respectivement

dx dy dz

'di^ ~di^ Tt'

H TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.

on en déduit

,„ dx'' dY^ dz^ dt' dt- dr-

Les cosinus directeurs du sens positif de la vitesse ont pour expressions

dx ^ dy dz

C0Sa=-7-> COSS=S-> COSY=i:-7-:

ds ^ ds ^ ds

ces formules sont évidentes quand ds'^o, comme on le suppose toujours en Analyse, parce qu'alors la droite ds a pour projections sur les trois axes dxj dy etûfc; elles sont encore vraies si ds << o, puisque les trois différentielles dx^ dy et dz changent de signe en même temps que ds. On pourrait en déduire les expressions précédemment trouvées, des projectiohs de la vitesse sur les axes coordonnés; on a, en effet, pour la projection de ^ sur Ox

ds ds dx dx

v cosa "=■ -r cosa :== -7-

dt dt ds dt

8. Mouvement d\in point sur un cercle. — Soit /• le rayon du cercle, dont le centre est pris pour origine; comptons les arcs croissants dans le sens où croît l'angle = a;OM, on a alors

ds d^

dt dt ^ .

dû en posant w = -jj; w, vitesse d'un point situé sur OM,

à une distance du centre égale à l'unité, est la vitesse angulaire.

Les projections de v sur les axes Ox et Oy sont res-