CHAP. 1. — MOUVEMENT D UN POINT MATÉRIEL
pectivement
dx <i(rcosô) rsinôt/ô
~dt "~ di ~ ~dt "~ ~~ ^-^^
dy d{r sin Ô ) r ces ô û?6
dt dt dt
La rotation est uniforme y quand varie proportionnellement au temps
alors
d^ iù=: ~—=z a=:i const.
dt
9. Projections de la vitesse, en coordonnées polaires planes, sur le rayon vecteur et sa perpendiculaire, — Pour projeter la vitesse sur le rayon vecteur prolongé et la perpendiculaire à ce rayon, menée dans le sens des angles croissants, il suffit de projeter sur ces directions l'arc A^; or ces projections sont, à des infiniment petits du second ordre près, Ar et rAO; donc les projections de
ds
-j- sur ces deux directions sont
at
dr , d^ ^.
dt dt '
la première s'appelle vitesse de glissement^ la seconde vitesse de circulation.
Enfin on a encore
dt^ 10. Coordonnées polaires généralisées. — Soit un-e
lO TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.
courbe fixe A {fig^ 5); un point quelconque M du plan peut être défini par l'angle que fait avec l'axe fixe Ox la normale Mm menée de M à la courbe A, et par la distance M//i = r. Projetons la vitesse de M sur mM prolongé et sur la perpendiculaire zwT; à cet efl^et, menons
Fis:. 5.
par les deux points infiniment voisins M et M' de la trajectoire de M, des courbes parallèles à A, la projection de MM' sur mM sera MP = A/\ Pour calculer la projection MK de MM' sur mT, remarquons que le point C intersection de deux normales infiniment voisines, tend vers le centre de courbure de A, qui est aussi celui de MR; donc si R est le rayon de courbure de A
arcMKz=:(RH-/)AO,
les projections de la vitesse ç^ de M sur les deux direc-
CIIAP. I. — MOUVEMENT D'uN POINT MATiîlRIEL, II
lions rectangulaires niM et mT sont par suite
dr ^^ ^ dO
Tt '' (^-^'•)^-
11. Méthode de Roberval (xvii® siècle). — Cette nxétliode, qui a pour objet le tracé des tangentes aux courbes, a précédé la découverte du Calcul infinitésimal. La tangente à une courbe n'est autre chose que la direction de la vitesse d'un mobile assujetti à décrire cette courbe; si donc on connaît les vitesses des projections du point sur
Fig. 6.
deux droites, ou simplement des quantités proportionnelles, on construira facilement la tangente à la courbe en question. Tel est le principe de la méthode de Roberval, que nous allons mieux faire connaître en l'appliquant à quelques exemples.
I** Soient M un point mobile sur une ellipse {^fig^ 6), r et r' les rayons vecteurs de ce point, issus des foyers F €t F'; les projections de MM' sur ces rayons vecteurs sont MP=rfr et — MP' = rfr', donc les projections de la
vitesse sur FM et MF' sont -r- et t-» Or, de la relation
dt dt
on déduit rfr = — rfr'; donc les projections de la vitesse
sur l'un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre, sont égales, d'où la construction connue de la tangente à rellipse.
2** Considérons une conique ayant F pour foyer et DD' pour directrice correspondante {fig> 7), on a
rzzzer^^
dr dt
dr dt
Concevons un point M décrivant la courbe, les projections
Fig. 7.
de la vitesse sur MF et MP sont
dr dr' ,
-r- et 7- et leur
dt dt
rapport es\ e = — > donc en prenant sur MF et MP des
longueurs proportionnelles à /• et r', par exemple MF = r et MP = /•', puis élevant en F et P des perpendiculaires à MF et MP, leur point d'intersection D appartiendra à la tangente.
On retrouve ainsi cette propriété, que du foyer F d'une conique, on voit sous un angle droit la portion MD de
CHAP. I. — MOUVEMENT D'uN POINT MÀTERIBL. l3
la tangente comprise entre le point de contact et la directrice.
3** Plus généralement, on peut obtenir la tangente à la courbe /(r, r) = o, où r et r' désignent les distances d'un point quelconque M à deux pôles ou à deux courbes fixes. On a, en effet
dt dr
donc les longueurs — -— et -p prises sur les rayons vecteurs r et r\ à partir de M, seront les projections d'un point de la tangente.
12. Projections de la vitesse en coordonnées cylindriques ou semi-polaires, — Les coordonnées semipolaires d'un point M sont le z de ce point et les coordonnées polaires r et de sa projection m sur xOy^
dz La projection de la vitesse de M sur O^ est-j^- Sur
O m et sa perpendiculaire menée dans le sens où croît,
, . . Il» dr d^ . 1
les projections de la vitesse seront — et r—.-y puisque la
vitesse de m est la projection de la vitesse de M sur xOy.
13. Projections de la vitesse en coordonnées sphériques ou polaires, — Soient p, et ç les coordonnées polaires du point M {fig» 8); ds est la diagonale d'un parallélipipède rectangle dont les côtés sont d^ sur OM, p d^ sur la perpendiculaire à OM, dans le plan azimutal ,sOM, et dans le sens dans lequel ô croît et enfin psinO<:/9 sur la perpendiculaire au plan ^OM, dans le
sens des angles 9 croissants. Donc les projections de la
Fig. 8.
ds
vitesse -7- sur ces trois directions rectangulaires sont
dt
dt
d^ . ^ do
p — et p sinO
dt
dt
14. Composantes de la vitesse en coordonnées curvilignes. — Soit le système triple
qui définit un point M {^,y, z) en fonction des trois paramètres po p2? p3 ; ces paramètres sont les coordonnées curvilignes de M, et ce point est à l'intersection des trois surfaces correspondantes. Cherchons les composantes de la vitesse de M, sur les trois tangentes aux courbes d'intersection de ces surfaces deux à deux, c'est-à-dire les longueurs qui, portées sur ces tangentes, ont pour somme géométrique la vitesse de M.
Soient ai, Pi, yi les cosinus directeurs de la tangente MA à la courbe intersection des surfaces p2 et p3, et ainsi
CIIAP. I. — MOUVEMENT d'u^^ POINT MATÉRIEL. l5
de suite; x^ y, z étant regardées comme fonctions de Pi, p2 et p.,, on a
d,r dx dpi dx dp^ Sx dp^ y^ dx do
dt «^pi dt dp2 ^^ <^P3 ^^ ^™ àp dt
dx
-i'Svm'-m'<%
Et de même
dt Zi' dty ydoj \dpj \dpj Donc, si l'on porte sur MA. la longueur
}vmHB*m
sur MB
^./(^s.]\(Éy]\(Êi
de V \dp2J \ap2J \àp2
et enfin sur MC
la somme géométrique de ces trois longueurs aura les
mêmes projections que la vitesse sur les trois axes Ox, Oy et Oz; donc ces trois longueurs sont les composantes de la vitesse.
