Foyers, plans focaux et droites conjuguées

114. Considérons un solide animé d'un mouvement quelconque et proposons-nous de chercher le lieu des points de ce corps dont la vitesse est, à l'époque t^ parallèle à une direction donnée. Soient /, m, n les cosinus directeurs de cette direction, par rapport aux axes

ViLUÉ. — Cinématique. ii

l62 TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.

entraînés ; le lieu cherché satisfait aux équations P ^ qZ — rY Q -^ rX — pZ R-h pY — qX

Écartant les hypothèses

SP/? — o et S//>=ro

qui exprimeraient, la première qu'il y a rotation simple, la seconde que la direction considérée est normale à l'axe hélicoïdal, on trouve deux équations distinctes du premier degré; le lieu cherché est donc une droite, elle est d'ailleurs parallèle à l'axe hélicoïdal, car la parallèle à la droite trouvée menée par l'origine des axes mobiles contient le point de coordonnées X =/?, Y r= ^r, Z = r. Ce résultat était aisé à prévoir, car tous les points d'une droite parallèle à l'axe hélicoïdal ont évidemment leurs vitesses égales et parallèles.

115. Théorème L — Dans un plan pris dans le corps solide, il y a, à V époque t, un point et un seul dont la vitesse est perpendiculaire à ce plan.

En effet, si l'on cherche à l'époque t tous les points dont la vitesse est parallèle à la normale au plan, on trouve une droite parallèle à l'axe hélicoïdal ; cette droite coupe en général le plan en un point qui est le point cherché.

Ce point s'appelle /?(5fe om foyer duplan^ et le plan se nomme plan focal ou plan polaire du point.

L'équation du plan focal d'un point x^yy z est donc

(i5) v^{li^x)^Vy{Y-y)-^v,{Z-z)^o,

Si Ton a pris l'axe hélicoïdal pour axe des z, cette équation devient

- (Dj (X — a?) -h (0^ (Y — j) + V"(Z — xf) = o,