CHAP. IV

OU

— MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l63

;rY— j^Xh (Z — ^) = o.

H6. Théorème II. — Lorsqu'une droite AB est normale à la vitesse de Vun de ses points A, elle est normale à la vitesse de tout autre point B de cette droite.

Soient, en effet, AI l'axe correspondant au point A

Fig. 75.

{Jig- 75) et BP la perpendiculaire abaissée du point B sur cet axe, on a

(C^B)^(i^A) + (03XBP).

Or la vitesse de rotation o) x BP est perpendiculaire

, au plan BAI et par suite à la droite AB; v^ transportée

parallèlement à elle-même au point B est, par hypothèse,

perpendiculaire à AB, donc il en est de même de la vitesse

du point B, somme géométrique de ces deux vitesses.

117. Théorème III. — Le lieu de toutes les droites passctnt par un point F, et normales à la vitesse de tous leurs points, est le plan focal de ce point.

Toutes ces droites doivent en effet être normales à la

vitesse du point F, elles sont donc dans un même plan normal à cette vitesse.

118. Théorème IV. — Si une droite située dans un plan est normale à la vitesse d'un de ses points^ elle passe nécessairement par le foyer du plan.

Soit MK (Jig. 76) une droite située dans le plan P; si elle ne passait pas par le foyer F de ce plan, ç^ serait per-

Fig. 76.

pendiculaire à MK par hypothèse et à FM, d'après le théorème III; elle serait donc perpendiculaire au plan et ce plan admettrait deux foyers F et M.

119. Théorème V. — Quand la droite d'intersection de deux plans passe par le pôle de l'un d'eux, elle contient aussi le pôle de l'autre.

Soient, en effet, ag la droite d'intersection de deux plans P et n et F le point de cette droite pôle du plan P; cette droite étant normale à la vitesse d'un de ses points F et se trouvant contenue dans le plan H passe par le pôle ^ de ce plan.

120. Théorème VI. — Le lieu des foyers des plans passant par une droite D est une autre droite A ; réci-

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proquement les plans passant par A ont leurs foyers sur la droite D.

Soient P et P' {Jig» 77) deux plans passant par la droite D, F et F' leurs foyers, et A la droite qui joint ces deux points, nous établirons d'abord la réciproque. Tout

plan tel que FF'ç passant par A, aura son foyer en ç sur la droite D ; en effet, ce j[)lan passant par le foyer F de P aura son foyer sur la droite Fç intersection de ces plans; ce foyer devant se trouver pour la même raison sur la droite F'9 sera en ç.

Considérons maintenant un plan quelconque passant par D, ce plan contenant les foyers ç et <p' de chacun des plans FçF', Fç'F', son foyer sera dans chacun de ces plans, donc sur leur intersection A. c.q.f.d.

Les droites D et A, qui sont telles que chacune d'elles est le lieu des foyers des plans passant par l'autre, sont dites conjuguées.

Remarque. — Quand des droites ont un point commun

l6r> TRAITÉ DE CtNÉH&TIQltE.

M, leurs conjuguées sonl dans le plan polaire Soit, en effet, A la droite conjuguée de D pas le plan passant par A et M aura son foyer sur donc au point M,

121. Théorème VII. - Toute droite qu\ deux droites conjuguées est normale à la tous ses points.

Soient, eneffet,D et A deux droites conjugui droite qui les rencontre respectivement en a ' Aga a son foyer en a, donc la droite ^a est i vitesse de a et par suite de tout autre point de '

Réciproquement, une droite a^ normale à 1 ses points et qui rencontre une droite D doil sa conjuguée A. Car la droite «^ normale à I ses points étant le plan Da;(3 doit passer par le plan, qui est d'ailleurs sur A, donc elle rencoi