Problème. — Une droite étant donnée
conjuguée.
Prenons pour axe Oz l'axe instantané du hélicoïdal à l'époque considérée, et pour axe ( courte distance AB de l'axe hélicoïdal et de dont on cherche la conjuguée {fig. 78). Soi et ç l 'angle de la droite D avec Oz ; les équati droite sonl
X ^:La, / ^= s tangtf.
L'équation du plan focal d'un point M de
a Y — zX tangœ + — {Z — z) — o;
CBAP. IV. •— MOUVEMENT GENERAL d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 167
ce plan passe par la droite A quel que soit le point M considéré sur D, c'est-à-dire quel que soit z; écrivant que son équation est indépendante de z^ on a les équations de la droite A
0, aY 4- \"Z = 0, (o X tangcp + \" ^ o.
Ces équations montrent que la droite A coupe l'axe des
^ et lui est perpendiculaire ; on a
BC
O) tangcp
V" tangcp, z= ,
91 étant l'angle de A avec Oz,
On voit que si la droite D est parallèle à l'axe hélicoïdal, la droite A est rejetée à l'infini.
De ce qui précède résulte encore le théorème suivant.
123. Théorème VIII. — La perpendiculaire commune à deux droites conjuguées quelconques rencontre Vaxe hélicoïdal et le coupe à angle droit.
124. Théorème IX. — Une droite normale à la vitesse de tous ses points est conjuguée d^ elle-même.
l68 TRAITE DE CINÉMATIQUE.
Cette droite passe, en effet, par le pôle de tout plan qui la contient, elle est donc le lieu des pôles de ces plans, c'est-à-dire sa propre conjuguée.
En vertu du théorème VII, toute droite rencontrant deux droites conjuguées est conjuguée d'elle-même.
125. Théorème X. — Deux couples quelconques de droites conjuguées sont sur un même hyperboloide.
Soient D et A, D' et A' deux couples de droites conjuguées, par les trois premières droites faisons passer un hyperboloïde et considérons une génératrice a^ du second système de cet hyperboloïde ; elle sera normale à la vitesse de tous ses points puisqu'elle rencontre D et A, et comme elle rencontre D' elle coupera aussi sa conjuguée A'. Or aP est une génératrice quelconque du second système de la surface, donc A' étant rencontré par toutes les génératrices du second système est une génératrice de l'hyperboloïde.
Si D' est parallèle à l'axe hélicoïdal. A' est rejeté à l'infini et la surface est un paraboloïde hyperbolique.
126. Problême. — Trouver le point central et le paramètre de distribution d'une génératrice d'une surface gauche.
Une surface gauche quelconque peut être regardée comme engendrée par une droite, dans son mouvement le plus général. Supposons ce mouvement connu et proposons-nous d'abord de trouver le plan tangent ou la normale, en un point M d'une génératrice D {fig 79). Cette normale est perpendiculaire à la trajectoire de M, donc, puisqu'elle rencontre D, elle doit rencontrer sa conjuguée A; elle est d'ailleurs perpendiculaire à la génératrice D de
CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTEME INVARIABLE. 169
la surface, la normale cherchée MN s'obtiendra donc en menant par le point M un plan normal à D et joignant le point N où il coupe A au point donné M.
On voit que les normales à la surface le long d'une génératrice D engendrent un paraboloïde, car elles sont normales à D et par suite parallèles à un plan iixe et elles s'appuient sur deux droites fixes D et A.
Cela posé, soient Oz l'axe hélicoïda] et AOC la perpen-
Fig. 79.
diculaire commune aux droites D, A et Oz, ce sera aussi la normale à la surface en A; proposons-nous de trouver son angle avec MN. Menons MP parallèle à AG et CP parallèle à D, la droite NP située dans le plan NMP normal à D est normale à CP; elle l'est aussi à MP, car cette droite MP parallèle à AC est par suite normale à D et A ou au plan NCP. Les deux triangles NPM et NPC, rectangles en P, nous donnent
NP =z PM X tango, NP — PC x tang(cp -+- cpi)
d'où
(a 4- b) tango = AM x tang(9 4- tpi),
TRAITA DE CINEMATIQUE.
Or, en général, si A est le point central d'une gén AM d'une surface réglée et 6 l'angle des plans tj ou, ce qui revient au même, des normales en M et
