AM

langa = -^ ,

donc, ici, A est le point central et

lang(if 4-çiJ le paramètre de distribution.

127. Déplacement d'un corps solide assujett taines conditions. — ■ Pour déterminer complète position d'un corps solide dans l'espace, il faut > ditions ; en effet, trois points déterminent la positi corps solide, or leurs neuf coordonnées sont li trois relations qui expriment que les distances de i points sont constantes, il reste donc six paranièti traires.

Si le corps n'est plus soumis qu'à cinq conditio sGs points vont décrire des courbes ; introduisons, i la condition que le z d'un point Mo du corps soit ( égal à 3o, les coordonnées x,y,z d'un autre poil conque M du corps seront déterminées et connues tion de Zq,

S) donc on considère Za comme un paramètre vai

CIIAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 171

point M se déplacera sur une certaine courbe et il en sera de même de tous les autres points du corps solide.

Supposons qu'on se donne seulement quatre conditions, ajoutons-y les deux données j^o ^o> nous aurons alors les six conditions nécessaires pour déterminer la position du corps solide et les coordonnées de M seront des fonctions connues de^o ^^ -^o?

ces équations signifient que le point M est assujetti à rester sur une certaine surface. Ce sont ces surfaces qu'on appelle sur/aces trajectoires des différents points du corps.

128. Théorème XI. — Quand un corps solide est assujetti à quatre conditions j il y a deux droites Y^ et 1^ qui restent conjuguées dans tous les mouvements instantanés quHl peut prendre.

Quatre droites étant données, il en existe généralement deux autres qui les rencontrent. Si, en effet, par les trois premières on fait passer un hyperboloïde, cette surface sera rencontrée parla quatrième droite en deux points par chacun desquels passe une génératrice du second système ; ces deux génératrices rencontrent les quatre droites données. Il y aurait toutefois une infinité de solutions, si les quatre droites étaient sur un même hyperboloïde.

Gela posé, considérons quatre points quelconques M, N, P, Q d'un corps solide, ils auront chacun une surface trajectoire S|,S2, S3,S4; en ces points menons les normales aux surfaces trajectoires, il y aura généralement deux droites D et A rencontrant ces quatre normales. Pour tout déplacement du corps compatible avec les liaisons, les normales considérées seront normales aux trajectoires

des quatre points M, N, P, Q, la conjuguée de la droite D sera donc rencontrée par les quatre normales (théorème VII), elle ne pourra être par suite que la droite A.

129. Théorème XII. — Parmi tous les déplacements possibles d'un corps solide assujetti à quatre conditions, il y en aura deux qui se réduiront à de simples rotations instantanées.

Nous verrons, en effet, dans le Chapitre suivant, que le mouvement le plus général d'un solide peut se décomposer en deux rotations instantanées autour de deux droites conjuguées D et A ; dans le cas actuel, les deux paramètres arbitraires qui achèvent de définir le mouvement seront les vitesses de rotation; or on peut, en particulier, faire nulle l'une d'entre elles et le mouvement se réduit alors à une rotation instantanée autour de l'autre.

130. Théorème XIII. — La normale à la surface trajectoire d'un point quelconque rencontre les droites D et A.

En effet, le plan normal à la trajectoire d'un point A dans une rotation instantanée autour de D passera par cette droite et, comme il contient également la normale à la surface trajectoire de A, cette normale rencontrera la droite D ; pour la même raison, elle rencontrera la droite A.

131. Théorème XIV. — Dans tous les mouvements possibles d'un corps assujetti à quatre liaisons, il n'y a qu'un groupe de deux droites restant constamment conjuguées.

Si, en effet, deux droites D et A restent conjuguées dans

CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL D'uN SYSTÈME INVARIABLE. ly^

tout mouvement compatible avec les liaisons, elles sont rencontrées par les normales aux surfaces trajectoires de tous les points et en particulier par les normales aux surfaces S^, Sa, S3 et S4; or ces normales ne sont pas en général sur un même hyperboloïde, puisque se donner quatre conditions revient à se donner arbitrairement ces quatre surfaces ; donc, puisqu'il n'y a que deux droites rencontrant ces quatre normales, il n'y a aussi que deux droites restant conjuguées d'elles-mêmes dans tout mouvement compatible avec les liaisons.

Remarque. — L'existence des droites conjuguées D et A est subordonnée à cette condition que la normale à la surface S4 rencontre Thyperboloïde défini par les normales aux trois surfaces S,, S2 et S3.

132. Application. — Mouvement d'un corps solide dont un point décrit une sur/ace donnée, tandis qu'un plan lié au corps reste tangent à une autre surface, le point de contact restant fixe dans le plan.

La première condition est simple et la seconde triple, soit en tout quatre conditions; donnons-nous comme cinquième condition que le point de contact M du plan P avec la surface S décrive une ligne de courbure de la surface.

Soient R le rayon de courbure de cette ligne, /, /w, n les cosinus directeurs de la normale à la surface, œ^ y, z les coordonnées du point M et p la distance de ce point à un point fixe quelconque P de la normale, on a pour les coordonnées du point P

d'où

dx^ = <f^ -H p dl^ dy\ ^zdy -h p dm, dz^ zrzdr -[- ^dn\

mais la formule de Rodrigues donne

dx dy dz ^

dl dm dn on a donc

û?j7, rz: (R -f- p) û?/, é/ji = (R-i- p) ûfm,

dzi = (R 4- p) dn;

or, si le point P est au centre de courbure principale, = — R et l'on a

dx^ ■= o, dy^ = o, dz^ = o.

La vitesse du centre de courbure est nulle et le mouvement se réduit à une rotation instantanée autour d'une droite D passant par ce point; cette droite devant d'ailleurs être normale à la trajectoire du point M sera dans le plan de la seconde section normale principale.

Les droites conjuguées D et A vont donc passer par les centres de courbures principaux et sont dans les plans des sections normales principales.