Des complexes linéaires
133. On appelle complexe un ensemble de droites assujetties à une condition unique. Prenons la droite sous sa forme la plus simple,
x=zaz-{-p, y=zbz-{-q,
et donnons-nous une relation entre ses quatre paramètres,
nous aurons particularisé les droites de l'espace ; ce sont les droites satisfaisant à cette condition qu'on dit former un complexe.
CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTEME INVARIABLE. lyS
Par chaque point Xq^ y^^ z^ de l'espace passent une infinité de droites appartenant au complexe ; leur lieu forme un cône dont on obtient l'équation en remplaçant dans
9 (a, 6, Xç^ — a^o> /o — ^-^o) = o
les quantités a et 6 par ? et - — —^ •
Le complexe est dit linéaire quand la relation donnée est linéaire par rapporta a^ b^ p^ q el aq — bp^ et qu'elle est par conséquent de la forme
(17) Lan- M6-}- P/? -H Q^-HR(a^ — 6/?) -i-Siizo.
434. Théorème XV. — Un complexe linéaire est U ensemble des droites conjuguées d^ elles-mêmes, par rapport à un mouvement convenablement choisi.
Pour le démontrer, nous chercherons la relation entre les quantités a, b, /?, g' pour les droites conjuguées d'ellesmêmes dans un mouvement quelconque, et nous verrons si nous pouvons identifier la relation ainsi obtenue avec celle qui définit le complexe linéaire. Nous définirons l'axe hélicoïdal du mouvement par ses cosinus directeurs a, p, Y et uii point ^o? ^0 ^a) soient en outre, o) la vitesse de rotation et V la vitesse de translation le long de cet axe, les composantes de la vitesse d'un point quelconque seront
f;^ = Va -I- o) [p (^ — ^0) — T (7 — ro)], Vy — y^-^-^l^iX'-Xçi) — ql{z —Zo)]y
Pour exprimer que la droite
x=zaz-^p, y = bz-hgy
est normale à la trajectoire de l'un de ses points x = p^
y z=.q^ >3 = o, nous écrirons la relation
avx -^- ^Vy -h l'a = o ; or
ç»^ — Va -h co ( — Yç -+- Y7o — P-So ).
^jr - - Vp -h w (y/? -+- a-5o — ï-^To),
^s = Vy -h w (a^ — ?/?-+- P^o — a/o ;
d'où la relation cherchée
(18) V(aa4- ^p + y) "^~ ^ [<*^ — P/^ ^"ï (^/^ -~^^)]
elle est bien de même forme que celle qui définit un complexe linéaire. Pour montrer qu'elle est aussi générale, identifions les coefficients àe p^q Qlaq — bp^ nous aurons
0)^=1= — P, (ooc-Q, WY = — R,
ces trois équations déterminent déjà la direction a, % y ^^ Taxe hélicoïdal et la vitesse angulaire w de la rotation; nous avons en outre
Va + w(YJu — P'5o)= L, Vp-Hto(azo— Y^o)~M,
VY4-w(p;ro — a/o) = S, d'où
V = La + MpH-SY;
une des trois relations précédentes peut alors être supprimée et les deux autres donnent les équations de l'axe hélicoïdal.
135. Théorème XVI. — Si une courbe est telle que ses tangentes appartiennent à un complexe linéaire, le plan osculateur de la courbe en un point quelconque est le plan focal de ce point.
Cette proposition est due à M. Appell.
GHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 177
Prenons pour axe des z l'axe du complexe, l'équation de ce complexe prendra la forme simple
(19) aq^bp=^z=:k]
cherchons alors la condition pour qu'une courbe ait ses tangentes satisfaisant à cette équation. Les équations de la tangente sont
dx dy dz
ou
dx dx
dz dz
on doit donc avoir
dz \ dz J dz \ dz J
et la relation diflFérentielle qui exprime que toutes les tangentes à la courbe appartiennent au complexe est
(20) y dx — xdy=r-kdz\
d'où
Éliminant, à l'aide de ces relations, dz et d^z dans l'équation du plan osculateur, on trouve
(X — 3c)y{dy d^x — dx d^y) -^{Y — y)x {dxd^y — dyd^x)
