Z — z) k {dx d^y — dy d^x) == o

;r Y — jX + A: (Z — ^) 1= o ; ViLUÉ. — Cinématique. 12

c'est l'équation du plan polaire du point x, y, z de la courbe.

136. Théorème XVII. — Si d'un point A de l'espace on mène les plans osculateurs à une courbe jouissant de la propriété d'avoir toutes ses tangentes appartenant à un complexe linéaire, les points de contact seront dans le plan polaire du point A.

Soit, en efiet, M l'un des points de contact ; la droite AM, étant dans le plan polaire de M et passant par le pôle M de ce plan, est normale à la vitesse de tous ses points; donc toutes les droites telles que AM sont dans le plan polaire du point A.

Réciproquement, si l'on mène le plan polaire de A, les plans osculateurs des points tels que M où il coupe la courbe passent par le point A, car la droite AM étant normale à la vitesse du point A est normale à la vitesse de M, elle est donc dans le plan polaire de ce point.

Parmi toutes les courbes satisfaisant à la condition précitée, étudiées par Chasles, se trouve la cubique gauche, on a alors ce théorème :

Par un point quelconque A de l'espace, on peut mener à une cubique gauche trois plans osculateurs, et les trois points de contact sont situés dans un plan qui passe par le point A.

137. Propriétés des surfaces réglées dont toutes les génératrices font partie d'un complexe linéaire, — Le plan tangent en un point M d'une génératrice AB a son pôle en M' sur la même droite et réciproquement le plan polaire d'un point M' contient la génératrice AB et est tangent en un seul point M de cette génératrice. Le sys-

CHAP. IV. — MOUVEMENT GÉNÉRAL d'UN SYSTEME INVARIABLE. 179

tème des points M et M' forme donc une division homographique

Ao^oîM-B^-l- Cx' -{- D = o;

le plan tangent coïncidera avec le plan polaire aux points pour lesquels ;r = a;' et il y aura, sur chaque génératrice, deux points jouissant de cette propriété. Il en résulte que le lieu de ces points forme sur la surface une ligne à deux branches.

138. Les tangentes à la courbe, lieu des points pour lesquels le plan tangent et le plan polaire coïncident ^ font partie d^un complexe linéaire, — En effet, la tangente en A à cette courbe étant située dans le plan tangent en A est dans le plan polaire de ce même point^ elle est donc conjuguée d'elle-même. Ces tangentes font partie du complexe auquel appartiennent les génératrices de la surface.

139. Cette courbe est une ligne a^ymptotique de la surface, car, les tangentes à cette courbe appartenant au complexe, le plan osculateur de la courbe en A est le plan polaire de ce point, c'est-à-dire le plan tangent à la surface ; la courbe, jouissant de cette propriété que tous ses plans osculateurs sont tangents à la surface, est une ligne asymptotique.

140. Le degré de cette courbe G est égal à la classe d^une section plane quelconque de la surface, — Pour le démontrer, coupons la surface par un plan P de foyer F {fig* 80) et soit <p la courbe d'intersection ; le point A, pôle du plan tangent T, étant sur l'intersection des deux plans, il en est de même du point F; la droite AF est donc

iSo TRAITE DB CINEMATIQUE.

tangente en A à la courbe if. Réciproquement F d'un plan P on mène une tangente à la ce tersectîon de ce plan avec la surface, le point sera sur la courbe C; car, si G est la génératri face passant en A, GAF sera le plan tangent or il contient les deux droites FA et AG

d'elles-mêmes, donc le point A sera le pôle i gent et appartiendra, par suite, à la courbe remarque, on conclut qu'il y a autant de po contre du plan P avec la courbe que l'on pi de F de tangentes à la section plane œ, ce qui théorème.

141. Sur/aces réglées ayant deux direc lignes. — Les génératrices de ces surfaces d'une infinité de complexes linéaires. Soient une génératrice quelconque, A et B les po rencontre les directrices D et A, considéron ment résultant des deux rotations u et u' au droites; la vitesse du point B n'aura qu'une provenant de la rotation o, elle sera donc per au plan passant par ce point et la droite D, c'

CIIAP. IV. — MOUVEMENT GENERAL D UN SYSTEME INVARIABLE. l8l

la génératrice G. Toutes les génératrices rectilignes de la surface sont des droites conjuguées d'elles-mêmes dans le mouvement ainsi défini, or ce mouvement dépend du

rapport —jy on en conclut que les génératrices de la surface font partie d'une infinité de complexes linéaires; à chacun de ces complexes correspond une ligne asymptotique G, et l'on pourra obtenir toutes les lignes asymptotiques de la surface en faisant varier le paramètre arbitraire -7- Ge qui précède s'applique aux conoïdes, car on

peut considérer un conoïde comme ayant une seconde directrice rectiligne A située à l'infini dans le plan directeur; on en conclut que les lignes asymptotiques d^un conoïde sont telles que leurs tangentes appartiennent ÔL un complexe linéaire,

142. Surfaces réglées du troisième ordre, — Elles jouissent de la propriété d'avoir deux directrices rectilignes; car si l'on considère quatre génératrices et les deux droites D et A qui les rencontrent, ces dernières droites ayant chacune quatre points communs avec la surface y sont contenues tout entières. Le degré des lignes asymptotiques est égal à la classe d'une section plane de la surface, or une section plane quelconque est une courbe du troisième ordre, il semble donc que sa classe soit égale à six, mais il est facile de reconnaître que cette courbe a un point double et, par suite, que sa classe doit être abaissée de deux unités. Gonsidérons, en efiet, une section plane passant par une génératrice, la section se composera de la génératrice et d'une conique en chaque point de laquelle passe une génératrice de la surface, or, la conique étant une courbe unicursale, toutes les génératrices de la sur-

lS2 TRAITÉ DE CINÉMATIQUE.

face seront déterminées individuellement et la sera nnicursale; il en sera de même d'une sectioi quelconque, donc toutes ces sections étant des iinicursales du troisième ordre auront un point En résumé, les lignes asj'mplotiques d'une surfaci du troisième ordre sont des courbes gauches c trième ordre.

i CHAP. V. — COMPOSITION DES MOCVKMENTS. l83