Théorème. — Une rotation peut toujours être

igu TRAITÉ DE CINEMATIQUE.

remplacée par une autre égale, parallèle e sens, et une translation perpendiculaire a deux axes de rotation.

Soit OA^w un axe de rotation {fig. 85)

Fi g. 85.

sons, en un point quelconque O', deux axes O'A', O'A" de sens contraires et égaux l'un et rien n'est changé au point de vue des vitesses OA, O'A" peut être remplacé par une tram aura ainsi une rotation O'A' égale et parallèle à et une translation perpendiculaire au plan de ( Inversement, on peut remplacer une rota

Fig- «fi-

une translation V {fig- 86 ) par une rotation uai V est perpendiculaire à OA,

En effet, on peut d'abord remplacer V pai de rotation de sens convenable, situé dans un p diculaire à V et passant par OA. Orientons I

modifions, au besoin, ses composantes, de telle sorte que sans changer son moment. Tune des rotations dont il se compose devienne égale et directement opposée à OA; alors, les deux rotations OA, OA' se détruisant, il restera la rotation unique OA". Il suffit, pour réaliser ces conditions, de transporter l'axe OA parallèlement à lui-même dans le plan perpendiculaire à V et dans un sens convenable, d'une quantité 00' donnée par la relation

151 . — Composition de deux rotations autour d^axes quelconques, — La vitesse du mouvement résultant est alors celle d'un mouvement hélicoïdal. Soient, en effet,

Fig. 87.

OA = (i), 0'A'= i^' {fig* 87) les deux axes donnés; au point O' appliquons deux rotations 0'A< = w, 0'A2 = — w, OA et 0'A2 forment un couple équivalente une translation perpendiculaire au plan OAO' et telle que Ton ait V = 0) X 00 1 ; restent deux rotations concourantes O'A' et O'Ai qui se composent en une rotation unique û.

D'ailleurs la translation V n'est pas perpendiculaire à û ; car l'étant à w, elle le serait au plan O'A'Ai , or elle l'est

19^ TRAITE DE CmEMATiatlE.

déjà au plan OAO', ces deux plans se confonilri et les deux rotations seraient dans uu même pi esl contre l'hypothèse.

La translation n'éUnt pas perpendiculaire à It on ne peut avoir de rotation unique, donc le m résultant est hélicoïdal.

Corollaire. — N rotations autour d'axes qu se réduisent à une translation et à une rotation sul'flt, en efiet, de faire en O', pour toute autr O'A", ce que l'on a fait pour la rotation OA, ensuite à composer des rotations et des translat courantes, ce qui donnera en fin de compte un tion et une rotation.

i52. Théorème, — Le mouvement général à solide peut se ramener à deux rotations a droites conjuguées.

L'un des deux axes pouvant être choisi arbiti excepté parmi les parallèles à l'axe hélicoïdal et conjuguées d'elles-mêmes, il y a par suite une i manières de décomposer en deux rotations le m le plus général d'un solide.

Soient, en effet, D une droite quelconque doi faire le premier axe de rotation, M l'un de ses sa vitesse, P le plan focal de M et Ml = w l'axe i correspondant au point M {Jig- 88 ) ; décompose tion u en deux autres, l'une MA = u'suivant M MB ;^ 0)" suivant la trace du plan I MD sur le plai décomposition est possible car MD n'est coni avec MB, sans quoi la droite D normale à la l'un de ses points M, serait conjuguée d'elleavec l'axe instantané MI, autrement cette droiti

CHAP. V. — COMPOSITION l>ES MOUVEMENTS. I9Î

direction des axes instantanés, ce qui esl encore contraire à l'hypothèse; enfîn MI n'est pas non plus confondue avec MB puisqu'alors l'axe instantané étant perpendiculaire à la vitesse V, on n'aurait plus un mouvement hélicoïdal véritable, mais une simple rotation autour d'un axe. Cela posé, remplaçons V par le couple MG, QS situé

dans le plan P, en prenant MG = QS = a" et MQ en avant du plan AMB, alors MG détruit MB et il reste en définitive les deux rotations