Engrenages à dents épicycloidales, — Le profil

ViLUÉ. — Cinématique. i^j^

210 TRAITE OB CINEMATIQUE.

de la dent D' est ici une épicycloïde ayant pour base la circonférence C; la recherche du profil de la dent D, quon nomme conjugué du premier, est basée sur le théorème suivant :

Le profil conjugué d'une épicycloïde ayant pour base la circonférence primitive Cl et pour roulante la circonférence G', est une autre épicycloïde ayant pour base

Fig. 95.

Vautre circonférence C et pour roulante la circonférence c" {fig* 95).

A et B étant deux points fixes des circonférences primitives G et a qui doivent venir en contact, on aura constamment, dans le roulement de C sur G, arc BI = arc Al; soit G"' une circonférence assujettie à toucher constamment les deux autres en leur point de contact I, avec la condition arc MI = arc AI, M étant un point fixe de la circonférence G", le mouvement absolu de M sera un mouvement épicycloïdal résultant du roulement de G" sur G. Comme on a aussi arc MI = arc BI, G'' dans son mouvement relativement à G' engendrera également une épicycloïde et les deux épicycloïdes E' et E sont tangentes en leur point commun M, puisqu'elles admettent la même normale MI. Si donc on considère le mouvement relatif de G' par rapport à G regardé comme fixe, l'épicycloïde E' entraînée

avec G', touchant constamment répicycloïde fixe E, cette

dernière sera l'enveloppe de la première, ce qui montre

que le profil conjugué de Tépicycloïde E' est répicycloïde E.

Dans le cas particulier qui est celui de la pratique, où

la circonférence G' étant intérieure à C, on a /'' = — , on

a vu (n® 42) que Tépicycloïde E' est un diamètre du cercle C, la dent D' est donc plane, on la nomme yZa/ic et l'épicycloïde conjuguée E se nomme face. On voit immédiatement que le point M étant intérieur à G' et extérieur à G, les flancs sont intérieurs et les faces extérieures respectivement à leurs circonférences primitives.

166. Gela posé, considérons deux dents sur chaque roue, l'une en deçà, l'autre au delà de la ligne des centres, on voit qu'avant le passage à la ligne des centres les flancs poussent les faces {fig, 96) et que c'est l'inverse

Fig. 96.

qui se produit au delà de la, ligne des centres. 11 résulte de là que si l'on ne donnait de flancs qu'à la roue conduite, par exemple, le contact utile n'aurait lieu qu'après la ligne des centres; pour obvier à cet inconvénient on donnera des flancs et des faces à chacune des deux roues.

Une dent se composera donc de deux parties, une inté-

aiï TRAITE DB CINEMATIQUE.

Heure à la circoaférence primitive (on désigne de creux la partie intérieure comprise entre dont les côtés AF et BG {Jig- 97), portions t la circonférence primitive, constitueront les il: partie ADEB extérieure à la circonférence pri l'on appelle plus particulièrement dent ou

limitée par des arcs d'épicjcloïde AD. BEjprofi des flancs de l'autre roue. Les saillies et le creux sont limités par des circonférences con la circonférence primitive,

167. Engrenages à développantes de Soient C et C les deux circonférences pi centres O et O' (Jig- 98); prenons comme développante d'une circonférence A'B' de c profil conjugué D sera la développante d'u rence AB de centre O. Si, en effet, M est le courbe D' touche son enveloppe pour la pi la roulante dans le mouvement relatif de C p C, MI est tangente à la circonférence A'B' com

CHAP. VI. — UECANISMES.

à sa développante D' ; de plus MI est normale à l'enveloppe des diverses positions de D', or la distance OB du point O à cette droite est constante en vertu de la similitude des triangles rectangles lOB, lO'B', qui donnent

OB r r'

d'où

OB

p=: p'X -7 = C0nst. j

donc les normales à la courbe D conjuguée de D' sont

Fig. 98.

tangentes à un cercle fixe de rayon p et par suite D est une développante de cette circonférence AB.

On voit encore que, dans le mouvement réel, le point de contact M se déplace sur la tangente commune BB^ aux circonférences p et p'.

168. L'engrenage à développantes présente sur l'engrenage à flancs trois avantages.

1® Avec cet engrenage on peut faire conduire par une même roue O plusieurs roues 0', C, ... de diamètres difrents. Il suffît, en efi*et, pour que ces engrenages soient corrects, que les rayons p,p', p", . . » des circonférences dont

Il4 THAITÉ DE CIKÉUATIQVE.

on trace les développantes, satisfassent aux re

ce qui est toujours possible.

L'engrenage à flancs, au contraire, est impo rayons r*, Z', ... ne sont pas tous égaux, car engrène régulièrement avec O', il faut que ses des arcs d'épicjcloïde ayant pour base la cirer

et pour roulante une circonférence de rayon —

elle n'engrènera plus régulièrement avec O", . toutefois tourner la difficulté comme suit : C les dents de O et O' sans nous inquiéter des a puis prenons pour profil des dents de O" conjugués des flancs et des faces de O, nous > ainsi pour O" des dénis dont les parties inté circonférence primitive ne seront plus planes une complication.

2' Si la distance des axes est altérée soit par tage, soit par usure des tourillons, l'engren cesse d'être exact. Supposons, en effet, que poi quelconque la distance des axes ait varié, et R' les rayons des nouvelles circonférences pr devra avoir simultanément

d'où

R R' ît-i-R' ,,

et par suite

K — kr, R'=kr'.

Mais alors, pour que les profils des dents t

CHAP. VI. — MÉCANISMES. 2x5

exacts, il faudrait que les saillies soient des arcs d'épi-

kr' cycloïde engendrés par une circonférence de rayon —

roulant sur une circonférence de rayon kr^ ce qui n'a pas Heu ; donc l'engrenage à flancs n'est plus exact.

Au contraire, l'engrenage à développantes reste exact malgré la variation de distance des axes, puisque la relation

à vérifier 77=^ l'est en vertu de - = £7 • Cet avantage est R R' r r ^

le plus important.

3® L'usure des dents d'un engrenage à développantes de cercle, si elle est uniforme, n'altérera pas les propriétés de l'engrenage. En effet, le profil de chaque dent étant transformé en un autre qui lui est parallèle, ces courbes admettront les mêmes normales pt, par suite, la même développée, elles seront donc les développantes du même cercle.

Malgré ces avantages, l'engrenage à développantes de cercles est beaucoup moins employé que l'engrenage à fliancs parce que, toutes choses égales d'ailleurs, les dents de l'engrenage à développantes de cercles sont beaucoup plus minces à leur extrémité que celles de l'engrenage à flancs, et par suite présentent beaucoup moins de résistance. On ne l'emploie guère que quand on veut faire conduire un grand nombre de roues par une seule autre.

En horlogerie on se sert exclusivement de l'engrenage à flancs.

169. Engrenages intérieurs, — Nous avons supposé jusqu'ici que les vitesses de rotation des deux arbres étaient de sens contraires. On peut avoir aussi à transformer un mouvement de rotation en un mouvement de rotation de même sens. Si la place le permet, on introduira une roue intermédiaire O'' {Jig. 99) ; la roue O tour-

ai6 TBAITÉ DE CINÉHATIOtE.

naol dans un certain sens fera tourner O" e et cette même roue 0' imprimera à la rou

tion contraire à la sienne propre, c est-àsens que celle de la roue O.

Si la distance des axes de rotation O et pas de loger cette roue intermédiaire, il ff aux engrenages intérieurs.

Soient O et O' les axes de rotation {^fig

les vitesses angulaires supposées de même se drons sur 00' prolongé dans un sens conve I tel que

les circonférences de centres O et O' et I seront les circonférences primitives.

CHA.P. VI. — MECANISMES.

La théorie des engrenages intérieurs est la même que celle des engrenages extérieurs.

Pour réaliser l'engrenage à développantes de cercles, on mènera par I une droite quelconque IB, les distances des points O et O' à cette droite seront les rayons p et p' des cercles dont on prendra les développantes pour profils des dents ; les centres de courbure B et B' de ces développantes étant tous deux du même côté de I, les profils des dents ont leurs concavités dans le même sens et alors les dents de la grande roue sont concaves, ce qui les rend faibles à leur extrémité; à cause de cet inconvénient, ces engrenages sont peu employés.

On peut aussi employer l'engrenage à flancs, mais on ne pourra donner à la fois à la grande roue des flancs et

Fig. loi.

des faces. Nous avons vu, en effet, que le lieu des points de contact des flancs de la petite roue O', avec les faces de la grande roue O {Jig^ 101 ), était une circonférence décrite sur 10' comme diamètre; ces points de contact sont donc à l'intérieur de la circonférence primitive O. Par suite les faces de la roue O devraient, comme ses flancs, être intérieurs à la circonférence O ; ces deux profils ne peuvent donc exister simultanément.

■un THAITE DU CINEMATIQUE.

On donne ordinairement des flancs à des faces à la grande; le contact ne pei que d'un côté de la ligne des centi inconvénient avec la solution suivante :

Donnons des flancs ab à la petite roue ' les par un arc d'épicycloïde quelconque l faces. Il faudra donner comme profil à 1 profils conjugués de ab et de bc; ce d'épicycloïde, seulement la portion conji rieure à la circonférence primitive, ser concave,

170. Crémaillère. — Si l'on fait in£ circonférence primitive O', celle-ci de" l'engrenageprend alors le nom de crémai sert à transformer deux mouvements con laire, l'autre rectiligne.

On emploie d'ordinaire l'engrenage à conjugués des flancs de la tige sont des é|

drées par une circonférence de rayon — par une droite, qui roule sur la circonft cycloïdes sont des développantes de < de la roue O ont donc pour faces des cercle.

Les faces de la tige, profils conjugué roue, seront engendrées par une circonf qui roule sur une droite; ce seront des

171. Détails pratiques sur les eni dents et les creux doivent avoir une f afin que l'engrenage puisse tourner dans

•i ■ Cm

encore pour que la même roue puisse être tantôt menante, tantôt menée, pour un même sens de rotation.

Soient n et n' les nombres des dents des roues O et O' ;

quand la première roue tourne de l'angle — , une dent

prend la place de celle qui la suivait et il en est de même

pour la seconde roue, qui tourne de Tangle -7-; ces deux

angles parcourus dans des temps égaux par les deux roues doivent être proportionnels aux vitesses angulaires w et w', on a donc

ou

On appelle pas le quotient de la circonférence primitive par le nombre des dents; si donc a et a' sont les pas des roues O et O', on aura

2 7c /• r= na, 2 7c r' = n'a'^

d'où

r na

d'ailleurs

r' CD n!

ce qui exige que a = a', les pas des deux circonférences primitives sont donc égaux. Les intervalles des dents de l'une des roues doivent être suffisants pour loger les dents de l'autre; on donne généralement un jeu qui varie entre ~ et ~. Pour satisfaire à l'égalité des pas des deux roues on fait les bases des dents, comptées sur les circonférences primitives, égales entre elles; il en est alors de même des

aao TR,tlTE DE CINEMATIQUE.

intervalles qui excèdent les bases du jeu donner à l'engrenage.

Afin de conserver aux dents une solid malgré leur petite épaisseur, on leur donne ■d l'axe de rotation une assez grande dimensioi largeur de la denture et qui est de quai l'épaisseur.

Bien que théoriquement un engrenage ] transformer deux mouvements simultan natifs, cela n'est pas possible en pratique ruptures de dents qu'amèneraient infaillible! tions de vitesse.

172, Détermination du nombre des di d'un engrenage. — Le nombre des dents d engrenage a une limite inférieure, qui est de dix dents, sauf en horlogerie oili l'on se c dents. Ce nombre de dents a aussi une limi sans quoi on ne pourrait exécuter l'engrens

D'un autre côté, pour éviter de faire > grandes ou trop petites, le rapport des viti roues ne doit pas être trop petit. Sa limite ordinairement j.; en horlogerie on va jus tenir compte de ces diverses conditions, ^ on procède :

Soient deux axes parallèles 0( et 0„ anin de rotation id| et un ; on établira une série d diaires Oj, Oj, , , ., 0„(, de vitesses wj, parallèles aux premiers et situés dans leur pi montera une roue A| , sur Oj deux roues B, les roues Bj et Aj, . , . , sur O^ une seule ro A, engrènera avec B(, A, avec Ba, . . . , A, est le nombre de dents d'une roue A et 3 d'i

CHAP. VI. — MECANISMES. 221

aura successivement d'où

(Oi tti ttj ... a„i = a)„ Pj P2 • • • Pn-i ou

<»>re aitta ... aff—i

ce qui permet d'obtenir pour les nombres a et p de dents des diverses roues des nombres moindres que ceux qui

représentent le quotient donné — ^ •

Supposons, par exemple, que nous voulions réaliser le rapport des vitesses g^e, nous prendrons un axe intermédiaire O2 et nous aurons

cos a, as i ^

(Oi pi p2 60^

posons

d'où

Pi p2 — 6^x 60,

nous prendrons alors

La méthode qui précède cesse d'être applicable si le rapport — contient à l'un de ses termes un facteur premier très grand ; cela se présente pour certaines horloges qui, comme celle de Strasbourg, donnent à la fois le jour de la semaine et l'âge de la Lune; on trouve, en effet, dans

ce cas

(un 1439 1439

Le nombre i439 étant premier, il faudrait donner 1489 dents à l'une des roues, ce qui est presque impossible. On a recours alors aux trains épicycloïdaux.

173. Trains épicycloïdaux , — Soit AA' un axe de rotation sur lequel est calée une roue N {/ig. 102 ) de vitesse angulaire w; cette roue N porte un axe BB' parallèle à AA' et qu'elle entraîne dans sa rotation.

L'axe A A' porte encore deux roues P et Q non calées ;

Pc

Ncn:

Fig. 102.

on fait tourner la roue Q avec la vitesse angulaire W2- Enfin l'axe BB' porte deux roues calées R et S qui engrènent respectivement avec P et Q ; le mouvement se communique ainsi à la roue P et lui donne une certaine vitesse angulaire wi que nous nous proposons de déterminer, connaissant les noiahre PjÇ, rets qui représentent respectivement les nombres de dents des roues P, Q, R et S.

Considérons, à cet effet, le mouvement du système relativement à la roue N, mouvem'ent dans lequel les axes AA' et BB' sont fixes ; les vitesses relatives de P et Q sont o)i — G) et (02 — w, si donc a est celle de BB' commune à R et S, nous aurons

(<02 — (3ù)g^=:(xSy (&), — u))/?=:a/',

d'où l'équatioD

qui donne w, ■

Dans la plupart des cas on suppose la roue Q imraob Mî =: G el l'on a

Nous pourrons alors réaliser le rapport— = ttS'i ^' aurons, en posant />5 = 3485,

/•y = 3485 — 1439 = 2046 = 33.63, d'où la solution

/) = 4i , jt = 85, r = 33, q—62.

On peut aussi se servir des trains épicycloïdaux pi

Fig. 103.

. . —Il'

réaliser des rapports très petits entre les vitesses de tioo des deuxroueâ. Prenant, par exemple

nous aurons

Les engrenages coniques peuvent être employés dans les trains épicycloïdaux. Considérons, par exemple, un axe AA' sur lequel sont montées deux roues P et Q non calées {Jign io3). L'axe AA' en tournant, entraîne dans son mouvement un axe BB' qui lui est perpendiculaire et sur lequel sont calées deux roues R et S ; la roue fixe Q engrène avec S et R avec la roue P comme dans le train épicycloïdal que nous avons étudié.

174. Engrenages hélicoïdaux de Hooke et de White. — Dans les engrenages étudiés jusqu'à présent il y a glissement des roues dentées, parce que leur contact n'a généralement pas lieu au point de tangence des circonférences primitives; les engrenages hélicoïdaux, imaginés par Hooke en 1674 et réinventés par White en 1808, ont pour but de remédier à cet inconvénient.

Considérons deux arbres parallèles 00 1, O'Oj, de vitesses angulaires constantes o) et w', et les cylindres primitifs R et R' de ces deux arbres {fig* i o4 ) ; l'engrenage se fera sans frottement si le contact des dents a constamment lieu en un point quelconque de la génératrice commune AAj des cylindres.

Pour y arriver, soient BC et BD deux courbes quelconques situées dans le plan des deux axes et en contact en B sur la génératrice AA| ; donnons à chacune de ces courbes des mouvements hélicoïdaux autour des axes 00| , O'O'o nous engendrerons ainsi deux surfaces hélicoïdales. Dans le mouvement de rotation de chacune des roues, les deux courbes méridiennes BC, BD, sections des surfaces par le plan des axes, se déplaceront parallèlement à ces

2St)

CHAP. VI. — UECANISUES.

axes, et l'on pourra choisir le pas de chacune de ces surfaces, de telle sorte que le mouvement de translation de ces courbes soit le même ; soit V cette vitesse commune de translation, constante comme les rotations. Alors le contact des deux méridiennes sera réalise à un instant quelconque et le point de contact se déplacera simplement

Fig. 10^.

le long de la génératrice AA| ; si donc h et h' sont les pas des deux surfaces hélicoïdales, on devra avoir

d'où

et comme

on aura encore

(1)^ = tù' h' y

(ûf = a)'/''.

les pas doivent être proportionnels aux rayons des cylindres primitifs.

ViLUÉ. — Cinématique,

136 TRAITE DB CINEMilTIQtlE.

El) pratique, l'une des vis est à filet carr< l'autre à (ilel triangulaire ou carré (fig- io5

Ces engrenages ne sauraient transmette notables sans s'user très rapidemeut. Ils ont

Fig. io5.

avec succès pour faire tourner des axes avei vitesse, en les adaptant à des appareils très It

t° LES AXES SOOT CO.NCOCBANTS.

175. Lorsque les axes de rotation sont coi solution du problème de la transformation ■ ment circulaire continu en un mouvementdu peut être obtenue soit par les engrenages c par le joint universel de Cardan.

176. Engrenages coniques. — Soient i axes représentatifs des rotations concourante l'on suppose constantes; le mouvement de la à se relativement à la roue R entraînée a' une rotation résultante Q de SC= lu' et SC -■

CHAP. VI. — UÉCANISMES. 227

de sens contraire à SC| (Jig^ io6). Si donc M est le point de contact des deux roues et p sa distance à Taxe SI de la rotation relative instantanée, la vitesse de glissement des deux roues sera

Les lieux des axes instantanés SI relativement aux roues R et R' sont deux cônes de révolution autour des axes SC,

Fig. 106.

SC; ces cônes qui, dans le mouvement de R' relativement à R, roulent l'un sur l'autre, se nomment cônes primitifs. On donne aux dents des roues la forme de cônes ayant S pour sommet, le contact a lieu alors tout le long d'une génératrice. Pour achever de déterminer les dents, de S comme centre avec un rayon arbitraire SA, décrivons une sphère, son intersection avec les dents sera le profil sphérique des dents. On voit qu'on peut déterminer les profils des dents coniques sur cette sphère, qui coupe les cônes suivant les petits cercles de rayons AB, AB', par des considérations et des constructions analogues à celles qui ont été employées pour les engrenages cylindriques ; les droites sont remplacées par des arcs de grands cercles et les épicycloïdes planes par des épicycloïdes sphériques résultant du roulement du cercle AB' sur le cercle AB.

177. Dans la pratique, par une approximation qui suffit, on ramène la construction du profil sphérique à la construction d'un profil plan. Par le point A de la génératrice de contact des cônes primitifs, on mène la droite 00' perpendiculairement à cette génératrice, puis on considère les points O et O' de rencontre de cette droite avec les axes comme les sommets de cônes droits ayant pour bases les cercles primitifs de rayons AB et AB', et c'est sur les surfaces développées de ces cônes que l'on trace les directrices ou profils des surfaces coniques des dents.

Pour construire les profils des dents sur les cônes et O', remarquons que les circonférences AB, AB' de ces cônes roulent l'une sur l'autre; or, le point de contact des profils coniques étant toujours très voisin de A, ces profils diffèrent fort peu de leur développement sur le plan tangent en A à la sphère qui est aussi tangent aux deux cônes; on peut donc admettre que les profils coniques étant constamment tangents, il en sera de même de leur développement sur le plan. En conséquence, on développera les deux surfaces OAB, O'AB' en deux secteurs ayant pour distance des centres la longueur 00', pour rayons les distances OA, O'A, et pour bases des arcs de même longueur que les circonférences primitives de rayons AB et AB', puis on prendra ces arcs comme cercles primitifs d'un engrenage plan dont on fera le tracé.

Les profils F et F' de cet engrenage plan étant construits, on enroulera ces figures sur les cônes O et O' et l'on aura ainsi sur ces cônes les profils des dents coniques de sommet S qui doivent constituer l'engrenage.

178. Joint de Cardan. — Ce mécanisme nommé encore joint universel ou joint hollandais^ se compose d'un croisillon BB', CC {fig* 107) dont les branches

CHAP. VI. — UÉGANISHES. 229

sont à angle droit; les axes de rotation OA, O'A' portent chacun une fourche CAC, BA'B' invariablement fixée à l'axe et articulée aux extrémités de deux bras opposés du

Fig. 107.

croisillon. Le centre S du croisillon coïncide avec le point de concours des deux axes.

Dans cet appareil, on peut faire varier à volonté l'angle des axes; toutefois, en pratique, cet angle ne devra pas être inférieur à i35®. On se sert surtout du joint de Cardan pour les mouvements à la main ou pour les mouvements lents, parce que le rapport des vitesses de rotation des deux axes n'est pas constant.

179. Proposons-nous de trouver la relation entre les déplacements angulaires simultanés des deux arbres à

partir d'une position déterminée, par exemple celle où

a3o TRAITE DE CINEHATigUE.

l'a\c SB est perpendiculaire au plaD fixe ÀË l'avu se est dans ce plan (^fig- 108},

Supposons que le premier arbre tourne d'un angle a, le rayon SB vient en SB| et S ^ l'angle CSCi, les deux droites SC et SC| dans un plan normal à SA. Si donc on consi

SBB|C|, il a pour angles plans*, -+3et I dièdre SB opposé à ce dernier angle est I' plans normaux aux axes de rotation, il esi aigu ^ de ces axes.

Appliquant à ce trièdre la formule fondi Trigonométrie sphérique

cosa =r cosft cosc + sinisinccos en y faisant

il vient

tang^ ^=L tanga cosif .

Les angles a et ^ sont donc en même t( droits, mais inégaux en dehors de ces cas, sionde mouvement serait impossible si l'angl

Clierchons la relation entre les vitess

rfï ^ ,

en dilFérentiant l'éc

cos'f. cos= 189(1 -(-Ung'«)

I — sm'asin'a

CHAP. VI. — MECANISMES. 23 1

a est la seule variable qui entre dans l'expression du rapport — • Pour sin2a= o, — = cos^; pour sm2a=ï,

to' I

— = • Ainsi le rapport des vitesses varie entre cos© et

o) coscp '

son inverse.

Les vitesses sont égales quand on a

( I -h tang'a) ces© = i -+- tangua cos'cp,

, I — ces 9 I

tang'a == ^- = »

cos<p — cos-cp coscp

Quand l'angle 9 atteint sa limite pratique ç = 45®, le

rapport des vilesses varie de ^= à y/2, c'est-à-dire du simple

au double.