Mouvement uniformément varié. — Le mouvement

d'un corps tombant librement dans le vide, et le mouvement du centre d'un corps sphérique homogène abandonné à l'action de la pesanteur, et roulant sur un plan incliné, appartiennent au genre le plus simple du mouvement varié; l'expérience constate

H eUIËMATIQUB. IBOT. I, CHAP. I.

que, si l'on compte Fespace parcouru et le temps écoulé à partir du point et de l'instant où le corps, d'abord en repos, est simplement abandonné à la pesanteur, respftce variable décrit par un point quelconque du corps dans le premier cas, et le centre de la sphère parallèlement au plan dans le second cas, est pro** portionnel au quarré du temps. Ce mouvement peut donc être exprimé par la formule

Si Tespace est mesuré à partir d'un point G quelconque de la droite sur laquelle se meut un point du premier. corps ou le centre de la sphère, et si Ton commence à compter le temps à un instant différent de celui' du départ, Fexpression de la distance sç du point mobile à Torigine O^ après le temps t, est de la forme

qui convient encore, moyennant des signes convenables donnés aux constantes x^, a et b^ au cas où le point mobile dont il s'agit, avant d'être abandonné, reçoit d'un moteur quelconque un mouvement, soit ascendant soit descendant, suivant la verticale ou suivant la ligne de plus grande pente du plan incliné.

Il n'est pas question d'expiiqper ici pourquoi l'équation cidessus a lieu ; mais, en la regardant comme l'expression d'un fait expérimental (*), il s'agit de faire mieux comprendre, à l'aide de cet exemple, ce qu'on entend par la vitesse à un instant déterminé dans le mouvement varié.

On peut y parvenir sans recourir au calcul différentiel. Si l'on suppose une valeur déterminée donnée à ^, on a par la formule

op = x^ + a^ -f- 6(2

(*) On le reconnaît en constatant que les distances du mobUe à un point fixe O, après des temps en progression arithmétique, formant une série dont les éifférencei secondes sont égaies, d*où il suit que m est une fenetioa duseflood degré de ^

MOUVBVHNT UNlFOUMbaRT VAIIÉ. 15

la valeur eorrespondante de x, qui fait connaître la position du mobile à la fin de ce temps. Soit àt un petit temps écoulé à la suite de t, et soit x^ la distance du mobile à Torigine des x, à la fin de cet accroissement du temps. On a pour déterminer x^ réquation

La différence x^-^x est l'espace décrit pendant le temps Aé succédant au temps t; son signe, dans chaque cas, indiquerait le sens du mouvement, et, en divisant cet espace par A^, on aurait la vitesse moyenne pendant ce temps. Ainsi,

-^-- — = a + ^ht + b/^t = vitesse moyenne.

A mesure que A^ diminue, cette quantité s'approche indéfiniment de a + ^bi, qui est par conséquent (13) la vitesse cher* ehée à la fin du temps t. Cest ee qui s'écrit ainsi :

On parvient immédiatement ^ ce résultat par la formule V = --, qui devient v=: — , appliquée à l'équation

X zn x^ + at+ bPy

suivant les règles les plus simples du calcul différentiel.

On conclut de ce qui précède :

1° Que, dans le mouvement exprimé par jc=ac^ + at-^-b^, la vitesse varie à chaque instant ;

2° Que sa valeur, quand le temps t commence, est a, quantité positive ou négative , qu'on appelle vitesse initiale et que nous désignerons souvent par v«;

16 CniÉMATIQUE. SBCT. I. CHAP. f.

3® Que la vitesse s'accroît, par unité de temps, de la quantité ^b positive ou négative, mais constante, qui s'appelle accélération constante, et que nous désignerons souvent par la lettre ;.

La propriété d'accélération constante a fait nommer le mouvement dont il s'agit mouvement uniformément varié. Ce mouvement est donc caractérisé par les trois équations

v = v^+jt, ) PI

dv

dans lesquelles chaque lettre a une signification dont il importe de se bien pénétrer^ en se rappelant que x^, v^ eij sont des constantes positives ou négatives.

15. Remarqnes sur l€»s éqnations et les propriétés dn monvement aniformément varié. •— !<> Des trois équations

ci-dessus, les deux dernières onjL été déduites de la première. Réciproquement, on peut de la dernière conclure les deux autres, sauf les valeurs de v^ et de s^ qui restent arbitraires. En efiet, en intégrant les deux membres de Téquation dv =yd^, à partir de ^ = 0, on a

V — Vo=y';

dx

puis^ en mettant pour v son expression — dans cette dernière équation, qui devient^ par la séparation des variables,

dx = v^dt+jtdt,

et en intégrant, on obtient x — x^z=zvj+ ^ji^.

2® L'équation v = v^ + jt donne^ pour une certaine valeur

MOUVEHEni UNlFORHJâHBNT VARIÉ. 17

de t, une valeur nulle à la vitesse v. Il faut bien remarquer qu'en général une vitesse nulle n'est pas toujours la même chose que le repos. Un point est en repos lorsque, pendant un temps fini^ il occupe constamment la même position. Un point en mouvement a une vitesse nulle à un instant déterminé lorsque

sa vitesse moyenne — pendant le temps A^ qui succède a

cet instant a pour limite zérOy c'est-à-dire devient aussi petite qu'on veut, à mesure qu'on fait décroître A^.

3^" En éliminant / entre les deux premières des équations [S], on a

JC — JC„=Z= -2-— / ou - = r

c'est-à-dire que, dans le mouvement uniformément varié, la vitesse moyenne pendant un certain temps t^ est la moyenne arithmétique des vitesses prises aux deux instants extrêmes de ce temps. 4* De la première des équaticms [î] on tire

c'est-à-dire que, dans le mouvement uniformément varié, la vitesse

fin du temps 5 1 est la vitesse moyenne

du mobile pendant un temps dont le milieu est ce même instant,

5*» En éliminant le temps t entre les deux premières équations [3], on obtient

l{v^-v,^)=f{x-^xj

dé sorte que, dans le mouvement uniformément varié, la moitié de

18 GOVÉMATIQUI. SBCT. 1, GIAP. I.

l'accroissement du quatre tk la vitesse est égale au produit de l'ath célération constante par l'espace parcouru >

16. nouvement osieillatoire, — On suppose qu'un point Hf se meuve unifornoiément sur une circooférence BAC (lig. %], §t que ce point soit à chaque instant projeté rectangulairement sur un diamètre BG. On demande les équations du mouvemeni de la projection P.

Soient F la vitesse constante sur la circonférence, r le rayon OA, X la distance OP, t le temps pendsint lequel le mobile passe de A en AI

et sa projection de G en P, V la vitesse de la projection P à la fin de ce temps.

On a d'abord

jc= r sin ACM, et angle ACM ::;: = — :

d'où

. yt

oc = r sm — .

Puis

dx Vt V Vi

V = --- = r cos»— .— :=5 r QQS — . IJl

On peut éliminer le temps, ce qui donne

La vitesse v est donc proportionnelle à l'ordonnée BfP. Elle

MOUTSMEIIT 08CILLAT01AI. 19

est nulle quand le mobile principal est en B ou en G. Son maximum est F et a lieu quand le mobile est en A.. Elle devient négative quand il se trouve au-dessous du diamètre BC.

La durée de Toseillation de B en G ou de G en B est celle du parcours de la demi-circonférence BAG^ par le mobile M ayant

la vitesse constante F; c'est donc — , (8), ou tt divisé par 1«

coefficient de l'ordonnée dans l'expression [3] de la vitesse v.

Rbvarqub. Le mouvement oscillatoire que nous venons d'étudier se trouve fréquemment dans les applications de la mécanique. Toutes les fois qu'on rencontrera un mouvement dans lequel la vitesse d'un point soit exprimée par une fonction de la

forme l/^a+ bx — c* x^, la distance variable du mobile à

un point fixe de sa trajectoire étant jc, on en conclura, en changeant l'origine des distances,

Que la vitesse peut être représentée par c l/^r^ — x'^^

Que le mouvement dont il s'agit est le mouvement oscillatoire qu'on obtiendrait en imaginant qu'un point se meut uniformément sur une circonférence dont le rayon est r et en projetant ce point à chaque instant sur un diamètre,

Enfin que la durée de chaque oscillation du mobile est -, ce qu'on trouverait d'ailleurs par le calcul intégral en posant — z=cr/ra — jc», d'où df = ^ et en inté-

dt V c^/jnr^

grant depuis x' = — r jusqu'à x' = r.

DÉTEBMINÀTION GaAPmQUS DI LA VITISSB,

17. Convbtt r«|pré««Ktalive des «spaees. — Si le mouvement d'un point sur sa trajectoire est figuré (7) par une courbe

^0 CINÉMATIQUB. SBCT. I, CHàP. I.

dont les coordonnées parallèles à deux axes représentent (moyennant deux échelles convenues des temps et des espaces) les unes les temps t, les autres les distances s du mobile à un point fixe de sa trajectoire, on peut en conclure la vitesse par un procédé graphique :

i^ Dans le cas où le mouvement serait uniforme, au lieu d'une courbe on aurait une droite ; et la vitesse serait représentée par la longueur constante positive ou négative dont varierait l'ordonnée variable s pour chaque accroissement positif de Tabscisse exprimant suivant Téchelie Tunité de temps.

Les lecteurs feront bien de s'exercer à tracer les différentes positions de la droite représentant un mouvement uniforme^ suivant la diversité des échelles et suivant les signes des quantités «0 et ^ dans l'équation [i] du numéro 10.

^^ Dans un mouvement varié quelconque, l'inclinaison de la courbe représentative, en un point, relativement à Taxe des temps donne, eu égard aux échelles, la vitesse à l'instant correspondant : cela résulte soit de la définition de la vitesse (13)

soit de l'équation v = — . La vitesse à la fin du temps t

s'obtient en menant, par le point dont Tabscisse figure ce temps, une tangente à la courbe représentative, et en mesurant à l'échelle des distances Taccroissement que l'ordonnée de cette tangente prend pour un accroissement de l'abscisse figurant suivant Tautre échelle Tunité de temps.

Suivant que la courbe tourne sa concavité vers les ordonnées s positives ou du c6té opposé, la vitesse est croissante dans le premier cas, ou décroissante dans le second, pendant que le temps croit. A un point d'inflexion répond un maximum ou un minimum de la vitesse, maximum si à la concavité vers les s positives succède la convexité, minimum dans le cas contraire. A un point où la tangente à la courbe représentative est parallèle à Taxe des temps /, la vitesse est instantanément nulle.

DÉTBRHINATION GRAPHIQUE DE LA VITESSE. !2i

8i, par exemple, le mouvement d'un point sur sa trajectoire est uniformément varié (14) et a par conséquent pour équation

s=zs^'+- vjt + '-j^, la courbe dont les coordonnées parallèles à deux axes représentent ce mouvement est une parabole (fig. 3) dont Taxe principal est une parallèle aux s. L'ordonnée à Torigine est la distance initiale s^ ; la tangente au point dont Tabscisse est nulle ayant pour équation s' z=zs^ + vjt^ si Ton appelle s^ Tordonnée de cette tangente qui correspond à ^ = i, et s^ l'ordonnée de la parabole correspondante à la

même abscisse f = 4, on a */ — «^ = v^, et *, — */ = -/.

18. Courbe représentative des Tltesses.— La loi suivant laquelle varie la vitesse dans un mouvement quelconque peut être rendue encore plus sensible par une autre construction graphique. On déterminera, comme on vient de le voir, les valeurs de la vitesse correspondantes à diverses valeurs du temps. Cela fait, on construira par points une courbe dont les abscisses seront, moyennant une certaine échelle, proportionnelles aux temps t et les ordonnées proportionnelles, moyennant une autre échelle^ aux vitesses v correspondantes.

Dans le second mode de représentation du mouvement d'un point, la distance s — «^ (qui sépare la position initiale du mobile de celle qu'il occupe à la fin du temps t) étant (13) l'intégrale Çvût est représentée par Taire comprise entre la

courbe^ Taxe des temps et les deux ordonnées qui répondent l'une à Torigine, l'autre à l'extrémité du temps I, pourvu que Ton convienne que l'unité de distance est représentée par l'aire d'un parallélogramme qui aurait pour côtés parallèles aux axes les lignes choisies pour représenter l'unité des temps sur Taxe des abscisses et Tunité des vitesses portées en ordonnées. Il doit être entendu que, si entre les deux instants extrêmes la vitesse

92 CINtMÀTlQUB. SIGT. I, GHÀP. I.

ohange de signe^ il faut prendre positivement l'airê située audessus de Taxe des terops^ et négativement celle qui se trouve au-dessous.

Ces considérations géométriques peuvent servir à démontrer que, lorsque la vitesse est donnée par la formule v^zv^-^^jt^ la distance du mobile, après le temps 1, à sa position initiale, est

i;^f + -j<^, quels que soient les signes de v^ et de j. Nous né

donnerons pas ici cette démonstration, parce que la proposition a été établie précédemment (15) par le calcul.

m LA VITESSE D^UN POINT DONT LE MOUVEMENT EST EXPRIMÉ EN COORDONNÉES PARALLÈLES A TROIS AXES.

19. Projeetlon de la vitesse sur un axe. — • Lorsque la trajectoire d^un point dans l'espace n'est pas immédiatement connue, le moyen le plus simple de définir son mouvement est (5) de rapporter ce point à. trois axes concourants non situés dans un même pian, et de fournir la possibilité de calculer pour toute valeur du temps t chacune des trois coordonnées x, y eiz du mobile.

Projection sur un axe d'un point en mouvement» Cela posé, il est aisé de vérifier les remarques suivantes :

1° Les expressions de x, de y et de 2 en fonction du temps font connaître le mouvement des projections conjuguées du mobile sur les axes^, chaque projection étant faite sur un axe par un plan parallèle aux deux autres ;

2" Les déplacements Ax, Ay^ Aa de ces projections pendant le temps A^ sont les projections, sur les axes^ de la corde MM^ joignant les deux positions M et M, que le mobile occupe au commencement ^t à la fin de ce temps;

DtTinUIIKATION AlfALTTIQQB DJS LA TITESSB. 33

f. Ax Âv A*

3® Par conséquent les quotients -— , —, — qui sont les

vitesses moyennes des projections du mobile sont les projections du quotient -tt^, qui, à mesure que A' diminue, finit

par différer aussi peu qu'on veut de la vitesse moyenne du mobile sur sa trajectoire pendant le temps a^;

cLx du dz

4® Par conséquent, les limites — , -^, — , vitesses des

projections du mobile à la fin du temps t, sont les projections dé la droite qui, étant égale à la limite — et dirigée suivant la

tangente à la trajectoire, exprime la vitesse du mobile dans l'espace. Ainsi :

Théorèms. Lu vitesse de la projection, sur un axe, d'un point en mouvement dans Fespace, est égale à la projection sur le même axe de la vitesse de ce mobile^

w . djc dw d2 , ,

Les vitesses — , -^, — sont souvent représentées par

dt df dt

Vfi Vjy Vt (prononcez v indice tk., etc.)t notations qui indiquent tout à la fois les vitesses des projections obliques ou rectangulaires du point dont la vitesse est i;, et les projections de cette vitesse. Ces quantités sont positives ou négatives, de mêmes signes que les accroissements dx, dy^dz, tandis que v comme d*, pouvant avoir toutes les directions dans l'espace, n'a point de

signe.

La notation vj n*a une signification complètement déterminée qu'autant que Ton connaît la situation angulaire du plan yO* coordonné avec Taxe Ox.

Lorsqu'il s'agit de projections rectangulaires, on a

Vx = v COS (v, x), Vj ZZZV COS (v, y), Vi = v cos (v, l).

djc

Exemple. Dans le cas du numéro 16, la vitesse — - du point P

df

!24 CINÉMATIQUE. SEGT. I, CHAP. 1.

est la projection de la vitesse V du point M, dirigée suivant la tangente à la circonférence. On a donc immédiatement

dx

— = F COS AOM.

dl

20. Corollaire. — Im vitesse dun point dans Pespace est la diagonale d'un paralUlipipede dont les arêtes contiguès sont égales et parallèles aux vitesses des projections du mobile sur trois axes coordonnés.

Dans le cas où ces trois axes sont rectangulaires, on a

V = J/Vx^ + Vy» +

Vz*,