Unités employées pour exprimer la vitesse. — L'ex

pression numérique de la vitesse exige le choix de deux unités. Tune pour les temps , l'autre pour les longueurs. L'unité de temps adoptée généralement dans rapplicalion des formules de la mécanique est, comme nous l'avons dit, la seconde (!•). L'unité de longueur ou d'espace dont nous ferons usage dans les exemples sera le mètre (J">). On exprime cette double convention en disant que la vitesse. est comptée en mètres par seconde. Néanmoins on se sert quelquefois d'igxpressions telles que celles-ci : vitesse de tant de pieds par minute, de tant de lieues par heure. Un mouvement uniforme étant défini sous une telle forme, il est aisé d'en conclure la vitesse en mètres par seconde. Par exemple, la vitesse d'une lieue (de 4 kilomètres) par heure et celle de 100 pieds anglais par minute reviennent, en mètres par seconde, l'une à

36ÔÔ ~ * "^ 9'

tQUÀTIOlil DU MOUVEMENT URIFOUfE. 9

l'autre à

iO. Équation sfénérale da mouTement amlfomie. —-On

conçoit que, pour définir le mouvement uniforme d'un point sur une ligne donnée, ce n'est pas assez de faire connaître la situation du mobile à un instant déterminé et Vintensité de sa vitesse ; il faut encore exprimer le sens de cette vitesse. Or, il suffit d'avoir compris l'usage qu'en géométrie analytique on fait des signes algébriques dans l'expression de la position d'un point sur une ligne donnée, pour étendre leur emploi à la détermination du sens de la vitesse, comme nous allons le faire en résolvant la question suivante :

Problème. Connaissant, 1® /a position M^ (**) qu'occupe à un certain instant un point mobile sur une ligne déterminée 0«

(fig. 1);

2° L'intensité de la vitesse de ce point en mouvement uniforme;

3® Le sens de ce mouvement, soit de M^ vers s, soit à fopposé; il s'agit d'exprimer la position M du mobile après un certain temps écoulé depuis l'instant oU il se trouvait en M^.

Pour le faire de la manière la plus générale, on nommera

t le temps écoulé à partir de Tinstant où le mobile était en Mq, instant qui est dit initial, parce que c'est à lui que commence le temps désigné par t;

s^ la distance du point M^ à un point G, appelé origine des

(*) Dans la navigation maritime, Tunilé de vitesse est le ncsud. Le nombre de nœuds que /î^ un navire est égal au nombre de milles marins qa'il parcourt en une heure. On sait que le mille marin est le tiers d'une lieue marine, ou un soixantième de degré terrestre : sa longueur est donc à peu près de 1852 mètres. Ainsi, un nœud répond à une vitesse de 1852 mètres par heure ou (X°^^h\k- par seconde.

(**) Les notations Ho , ^o se lisent : m indice zéro, s indice zéro.

iO cmâiiATiQtm. hëct. i, ciuf. i.

distances, et supposé connu sur la ligne Os; cette distance doit être comprise algébriquement, c'est-à-dire que c'est implicitement une longueur affectée d'un signe qui sera -h ou — , selon qu'elle sera portée à partir de O dans le sens adopté pour posilif ou dans le sens contraire; le point M,, que détermine la /]uantité s^ s'appelle position initiale du point mobile, et par là il ne faut pas entendre que le mobile est parti de cette position, mais il faut entendre qu'il l'occupait au commencement du temps t;

V la vitesse du mobile, quantité constante, mais positive ou négative selon que le mobile marche dans le sens positif ou en sens contraire ;

s la distance du mobile à l'origine O après le temps ^ distance dont le signe fera connaître le sens dans lequel elle devra être portée.

Cela posé, il est facile de voir qu^on aura

Cette équation, dont on vérifiera aisément l'exactitude pour toutes les hypothèses possibles relatives aux valeurs et aux signes des*quantités qui y entrent, s'appelle Véquation en termes finis du mouvement du mobile désigné dans l'énoncé de la question dont il s'agit ici. Elle s'applique à un cas quelconque du mouvement uniforme d'en point, pourvu qu'on donne aux constantes s^ et V les valeurs qui conviennent à ce cas, et qui ne sont pas d'ailleurs toujours données explicitement, comme on va le voir par un exemple.

11. Exemple de mouvement uniforme. •— Connaissant les positions du mobile à deux instants donnés, et sachant d'ailleurs que son mouvement sur une ligne connue est uniforme^ trouver r équation de ce mouvement.

L'équation cherchée est de la forme « =s s^^ -+- n, mais les

ÉQUATJ0M DU MdtitËKMf MltPOiftB. 44

quantités constantes s^ et F ne sont pas données immédiatement ; il s'agit de les calculer. A cet effet, on prendra à volonté l'origine des distances et celle des temps.

s^ et s^ étant les distances, à Torigine O, des deux positions connues,

t^ et t^ étant les temps écoulés depuis Tinstant choisi pour initial jusqu'à ceux qui correspondent à ces deux positions.

L'équation générale ci-dessus [1] doit être vérifiée quand on y substitue pour s ei t les valeurs simultanées s^ et t^, puis s^ et ^2 i on a donc deux équations pour calculer les constantes inconnues s^ et r, savoir :

*. = ^+^'. et s^ = s^ + Vi^ d'où

F = fî^:iîi et ,,=iiAzivîi.

et l'équation du mouvement dont il s'agit, c'est-à-dire celle qui donne la position du tiiobilé à chëique instant, est obtenue par la substitution de ces expressions de r et de s^ dans Téqtiation générale [i]. On a ainsi

Cette équation peut être mise sous les formes

qu'il est d'ailleurs facile d'écrire immédiatement, en considérant que l'espace s — s^^ par exemple, est parcouru dans le temps t — t^y avec une vitesse égale à Tesp^Qe s^ — s^ divisé par le temps f, — f, employé à parcourir ce dernier espace.

13 CnrtlUTlQOI. BKT. I, CMÂt. I.

DU MOUYEHSNT TARlfi D^UN POINT SUR UNS LIGNB DONlffiE.

12. HonTement varié. — Honvement périodiquement uniforme. — Lorsque le mouvement d'un point n'est pas uniforme, il est dit varié. Il est périodiquement uniforme si certains espaces successifs égaux sont parcourus suivant la même loi relativement au temps mis à les parcourir, sans que la même condition soit remplie par les parties de chacun de ces espaces. Tel est, par exemple, le mouvement d'un point de Taiguille d'une montre à secondes. Tel est encore le mouvement annuel du soleil relativement à la terre.

15. vitesse. — Il importe de bien comprendre ce qu'on entend par la vitesse d'un point à un instant déterminé, dans le mouvement varié. :

Soit M la position de ce point à un certain instant , et soit ^s l'espace positif ou négatif qu'il parcourt ensuite pendant un certain temps A^ lequel peut être assez petit pour que pendant tout ce teipps le mobile s'éloigne constamment de la position M. Si Ton divise As par l'expression numérique de A'^ le quotient

^ de »toe signe ,„e A., es, ■•«p^.ion de 1. „.,.« ™,^

avec laquelle l'espace As est décrit; et la direction de cette vitesse moyenne est suivant la corde joignant le point M à celui qu'occupe le mobile à la fin du temps A^.

Or si, dans le calcul, on fait décroître indéfiniment A^ l'espace As partant toujours du point M approche sans cesse et autant

qu'on veut de zéro; mais le quotient— tend vers une limite déterminée^ positive ou négative, qui, suivant la notation du calcul

VITESSE DANS LB HOUTBHBIfT YARlfi. 13

différentiel^ est désignée par -- , en même temps que la direction de la corde approche de se confondre avec la tangente en M. Ces deux limites de valeur et de direction constituent la vitesse du mobile à Tinstant où il occupe la position M. C'est ce qu'on énonce d'une manière abrégée, en disant que

La vitesse d'un point en une position déterminée est dirigée suivant la tangente à la trajectoire en ce point et a sa grandeur exprimée par l'espace infiniment petite positif ou négatifs qu'il décrit à partir de cette position, divisé par F expression numérique du temps infiniment petit employé à décrire cet espace.

Si donc l'équation du mouvement est sz=i§ (f), et si Ton appelle V la vitesse à la fin du temps quelconque i, on a, conformément aux notations connues du calcul différentiel^

quantité positive ou négative, selon que le point marche à cet instant dans le sens positif des s, ou en sens contraire. Réciproquement, si la vitesse était une fonction connue du

temps,' on en conclurait la relation nécessaire entre le déplacement du mobile et le temps écoulé pendant ce déplacement. En effet, de

v = — =f(/), ontire d« = f(^)d^, d'où 8 — 8^= 1 t{t)dt.

ai -•/o

Nous allons appliquer ces considérations à deux exemples.