Théorie g^énérale des trains éplcycloidanx. — Les

exemples précédents indiquent une marcbe facile et sûre pour résoudre toutes les questions analogues à celles qui viennent d'être traitées; il suffit pour cela de s'appuyer sur la notion évidente de la composition de deux vitesses de même sens ou de sens contraires suivant une même droite. Mais les relations qui existent entre les vitesses absolues ou relatives des diverses parties d'un système en mouvement épicycloïdal peuvent être exprimées par des formules générales, dont l'emploi est utile, surtout lorsque, comme dans l'exemple du u9 164, plusieurs axes de rotation relative sont entraînés dans un même mouvement circulaire absolu autour de Taxe principal.

La figure IH aidera à comprendre ce qu'il faut entendre par un train épicycloïdal (*).

AA est un corps solide tournant autour de Taxe géométrique fixe MX. Il entraîne dans son mouvement un système d'arbres tournants PP, QQ, RR, ... dont les axes sont fixes relativement

(*) Les nolioDs qui suivent sont la plupart empruntâmes pour le fond à rouvrnge déjà cité de M. Willis (Principîes ofmechanism), pa^^es 361 et siiiv. Les démonstrations qu'on va lire sont différentes des siennes et plus simples, parce qu'elles soûl tirées immédiatement de la théorie de la composiiion des rotations numéros 61 et suiv.

THÉORIE GÉNÉRALE DBS TRAINS ËPICTCL0ÏDAI3X. 22i

à ce corps solide AA, lequel remplit à Tégard du système la fonction du bâti ou support fixe d'un mécanisme ordinaire composé de diverses pièces tournantes. Ce support tournant, auquel M.WilIis a donné le nom de bras porte-train (train-bearing arm), a le plus souvent la forme d'une simple barre ; mais en général sa forme est appropriée aux pièces qu'il soutient et emporte dans son mouvement circulaire.

i\ Les arbres PP, QQ, RR, ... ainsi entraînés par le support AA, sont en relation entre eux par engrenages ou par poulies et courroies sans fin, de manière que ces corps étant considérés relativement au support pris pour système invariable de com« paraison, le mouvement de rotation du premier arbre PP se lie en rapport déterminé à celui du second QQ, celui-ci à la rotation du troisième RR^ et ainsi de suite. (F^es axes de ces arbres successifs peuvent n'être pas dans un même plan, comme la figure 111 les suppose pour plus de simplicité.)

De plus, le premier des arbres entraînés, PP, est lié par engrenage ou par courroie à une roue B tournant simplement, comme le support AA, autour de Taxe géométrique MX, mais avec une vitesse angulaire généralement différente.

Enfin le dernier des arbres entraînés (dans la figure 1 11 c'est Farbre RR) peut aussi être lié par roue dentée ou par poulie et courroie sans fin, à une autre roue ou poulie G, tournant simplement comme B et AA, mais avec une vitesse angulaire généralement ditférente, autour de Taxe MN.

Cet ensemble est appelé par M. Willis epicyclic train, qu'on peut traduire par train épicycloïdal.

Un cas particulier qui pourrait se réaliser est celui où les trois vitesses angulaires des deux roues extrêmes B et G et du support AA seraient égales et de même sens. Alors tout Pensemble, roues B et G, support et ses rouages, tournerait autour de Taxe géométrique principal MX, comme s'il était solidifié. Il serait en repos relativement au support tournant.

Un autre cas particulier utile à considérer est celui où le bras

S^â CINÉMATfQOB. SBCT. II, CHÀP. II.

porte-lrain est en repos. Le mouvement de chaque pièce de l'ensemble est alors une rotation simple, et toutes les rotations ont entre elles des rapports conformes aux règles précédemment établies (159).

Dans le cas général où le support AA et la roue B ont des vitesses angulaires différentes^ le mouvement d'une quelconque des pièces entraînées est un mouvement composé de la rotation d'entraînement du support et de la rotation simple de cette pièce relativement au support pris pour système solide de comparaison.

Cela posé et bien compris, deux questions se présentent :

Première (question. Les proportions des divers rouages étant données^ trouver la relation entre les trois vitesses du bras porte" train AA et des deux roues extrêmes B et G*

Appelons ces trois vitesses Wa, wb et wc, supposées positives quand elles sont dans un certain sens autour de MS, et négatives dajj|s le cas contraire; introduisons dans )e calcul les vitesses angulaires des roues B et G relativement au support AA, et désignons ces vitesses relatives par ff^^ et fT^j dont les valeurs sont également susceptibles de Tun ou l'autre signe.

La rotation absolue wb est la résultante de la rotation d'entraînement wa et de la rotation relative f^B ; et comme ces vitesses sont autour d'un même axe, il en résulte, eu égard aux signes, l'équation

De même wc est la résultante ou la somme algébrique de la même vitesse d'entraînement et de la rotalion relative ff^c ; ainsi

Or les rotations fV^ et ff^c ont entre elles on rapport facile à trouver quant à sa valeur numérique et à son signe, lorsque les proportions du train sont données, puisque ce raf^ort, in-

THÉORIE GÉNÉRALE DES TRAINS ÉPICTCL0ÏDA13X. 2213

dépendant du mouvement du support, est précisément celui des vitesses angulaires qu'auraient les roues B et C si le bras porte-train était en repos et les rouages en mouvement. On est ainsi conduit à tirer des deux équations précédentes la relation demandée

wc — Wa W(

Wb — Wa W]

M. Willis désigne ce rapport , tantôt positif et tantôt

négatif, par la lettre unique e; en l'adoptant, mais en conservant les notations expressives Wa 9 tt^B et wc au lieu des lettre^^ a^meHn par lesquelles il indique les trois rotations, nous avons la formule

wc — Wa

Wb — Wa

Cette formule, nous le répétons, s'applique à tous les cas possibles, pourvu qu'on ait égard aux signes, c'est-à-dire aux sens des vitesses angulaires. Les proportions des rouages du

Wc

train étant données et par conséquent le rapport e égal à ---•

Wb

étant connu, on peut disposer à volonté de deux des trois vitesses angulaires iua, i«^b9 'Wc^ et calculer la troisième. Ainsi, par exemple, on peut mettre Téquation générale sous la forma

ti?c = WA(i — s)-|-WbS, [5]

où Ton remarque que wc est la somme des deux valeurs particulières que cette rotation prendrait si Ton supposait successivement les rotations wa du bras et wb de la première roue séparément nulles.

Si l'une des rotations, wa par exemple, était constante, et une autre w^ variable, la troisième ivc se composerait de deux

234 cinéuàtique. sbct. i, chap. ii.

parties, Tune constante proportionnelle à iua, l'autre variable proportionnelle à wb.

Le lecteur vérifiera facilement l'accord de la formule générale avec celles qui ont été obtenues directement pour les questions posées aux articles 162, 164 et i65.

Deuxième question. Les proportions des divers rouages étant données depuis la première roue B jusqu'à un arbre quelconque Q du train {dont le reste depuis l'arbre RR jusqu^à la roue C peut être supprimé), trouver la relation entre les deux vitesses angulaires absolues Wa du porte-train et w^ de la roue B, et les vitesses qui caractérisent le mouvement composé de l arbre Q.

L'axe de l'arbre entraîné Q peut être parallèle à Taxe commun MN de la rotation du bras AA et de la roue B ; il peut concourir en un point avec cet axe ; enfin il peut n'être pas avec lui dans un même plan. C'est ce qui constitue trois cas que nous allons considérer successivement.

Premier cas. Axes parallèles. L'axe de Tarbre QQ décrit alors un cylindre. Soit q sa distance à Taxe commun MIV. Le mouvement de Farbre QQ est alors composé 1° d'une translation circulaire dont la vitesse linéaire est celle de son axe^ exprimée par qwj^ , et ^° d'une rotation simple que nous désignons par ivq, parce qu'elle est égale à la vitesse angulaire de Tarbre QQ autour de son axe instantané de rotation {/o^^.

Le mouvement de l'arbre QQ peut aussi être considéré comme composé de la rotation d'entraînement wa du porte train et de la rotation ^Fq de l'arbre QQ relativement à ce support. Or les deux axes de ces rotations étant, par hypothèse^ parallèles, on a (63), quels que soient les signes, Téquation

ii;q=:Wa + ^, [6]

laquelle, jointe à celle-ci qui subsiste, comme dans la première question^ [i],

Wb = Wa + ^^B>