EN COORDONNÉES POLAIRES

28 « Trajectoire plane. — Soient

G (fig. 5) le pôle et OL Taxe polaire auxquels sont rapportées les positions successives d'un point mobile ; M la position qui correspond à la fin du temps t ; r le rayon vecteur variable OM ; oc Tangle variable MOL.

Deux équations ^ {r, a, i) = et ^, (r, a, ^) =0, ou plus simplement r = f (#) et ^c == f , (f), définiront complétemenl le mouvement du mobile dans le plan MOL.

L'équation r = (p (t) seule fait connaître la loi du mouve-ment de ce mobile le long d'une droite qui coïncide continuellement avec le rayon vecteur. La vitesse de ce mouvement, qui est appelée vitesse relative du point mobile sur le rayon vecteur,

dr

et que nous désignerons par vr, est exprimée par — , quantité positive ou négative.

L'équation a = 9, (t) seule fait connaître la loi suivant laquelle varie la distance angulaire du rayon vecteur à Taxe

polaire OL. La dérivée — est ce que Ton appelle la vitesse

angulaire du rayon vecteur ou du point M autour du pôle O. On peut se représenter cette quantité comme étant la vitesse linéaire du point situé à l'unité de distance du pôle sur le rayon vecteur; mais on doit remarquer que, pour un mouvement déterminé du rayon vecteur, Texpression de la vitesse angulaire reste numériquement la môme, quelle que soit Funité de dis-

26 CINÉIUTIQCK. 6BGT. I, CSiP. I.

tance ou de longueur; c'est donc un nombre abstrait f ), et cela devait être, puisque « est lui-même un simple rapport. Nous dé-

signerons la vitesse angulaire — par w,

df

Lorsqu'une droite, telle que OM , tourne uniforiïiément autour

d*un de ses points, c*esl-à-dire que les angles qu'elle décrit

sont proportionnels aux temps mis à les décrire, l'usage des

praticiens est de déterminer sa vitesse de rotation par le nombre

de révolutions ou de tours qu'elle fait par minute. Si h est ce

nombre^ la vitesse angulaire — de la droite est, comme il

dt

est aisé de le voir, -— -.

Connaissant r, -- et — à un certain instant, on en

' dt dt

conclut la vitesse v du mobile à cet instant. Soit M' la position du mobile à la fin du temps t + ai. Menons la droite OUI' et l'arc circulaire infiniment petit MN, Nous aurons le triangle différentiel rectangle MM'N formé de Parc de trajectoire MM' ou dg, de NM' égal à dr et de MIV égal à rda; ainsi

d* = ^dra + r3da8,

et par suite

d* I //dr\2 „ /da\a

ou

(*) Si, par exemple, ta vitesse angulaire est 4, cela veut dire que, dans le cas où le rayon OM tourne uniformément, son point situé à 1 mètre du centre fixe parcourt 4 mètres par seconde, tandis que les points silués à 1 décimètre, à 1 kilomètre, à 1 pied, parcourent 4 décimètres, 4 kilomètres, 4 pieds, ce qui exprime évidemment le même déplacement du rayon indétiûiment prolongé.

DÉTERMnfATION ANAIVTIQUB DB LÀ VITESSE. 27

Le produit rw est la vitesse d'un point qui, coïncidant avec M, resterait immobile sur le rayon vecteur, mais serait entraîné avec celui-ci. C'est pourquoi on l'appelle vitesse cF entraînement du point M.

On peut encore calculer l'angle |3 de la courbe MM' avec le prolongement du rayon vecteur. On a

^ dr Vf . - rda rw

cosû = — = — , sm 13= --- = — .

*^ ds V ^ ds V

On peut aussi exprimer la distance variable p de l'origiâe Ô à la tangente en M, savoir :

» = r sm fl = r* ■— = r* — .

Enfin, il peut être utile de considérer l'aire M^^OM décrite par le rayon vecteur et dont l'accroissement pendant le temps dt est l'aire MOM' que nous désignerons par dcù. En négligeant le triangle MM'IV comme infiniment petit par rapport au triangle MOIV, on a

i d(ù \ da \

dû) = - r^da d'où — = ;r r2 — =3 - rhv.

2 dt ^ dt <i

On obtient le même résultat en écrivant

dû) = - M d5 = - r^ da.

df\ La quantité — 9 qui exprime la loi suivant laquelle l'aire (a

dt

croit avec le temps, s'appelle la vitesse aréolaire du point M autour de O. Elle peut être constante, et alors les aires décrites

^8 CINÉMATIQUE. SECT. I, CHAP. I.

par le rayon vecteur, pendant des temps quelconques, sont proportionnelles à ces temps.