Trajeetoire qneleonqne dans l'espace. — La position

du point mobile à chaque instant peut être définie par trois coordonnées polaires :

i* Le rayon vecteur OM ou r (fig. 6) ;

â'» L'angle mOL ou a que sa projection orthogonale Om sur un plan fixe, mené par G, fait avec une droite immobile OL de ce plan ;

3° L'angle M Om ou y que ce même rayon vecteur fait avec le plan fixe.

Trois équations entre les trois variables r, a» y et le temps t définiraient le mouvement du mobile. Si elles étaient ramenées aux formes explicites

la première, seule, ferait connaître le mouvement relatif du mobile suivant le rayon vecteur; la deuxième donnerait le mouvement angulaire de la projection du rayon vecteur sur le plan iïxe mOL ; la troisième ferait connaître le mouvement angulaire du rayon vecteur par rapport à la droite fixe Oz menée par G perpendiculairement au même plan mOL.

Cherchons la vitesse du mobile à Tinstanl de son passage en M. Ce point se projette perpendiculairement en m sur le plan mOL, et l'on a Om = r cos y. Soit MM' ou ds l'arc infiniment petit que le mobile parcourt pendant le temps dt. Le rayon vecteur OM' est égal à r H-dr; il fait, avec sa projection orthogonale Om' sur le plan LOm, l'angle y + dy; et l'angle m'Om est exprimé par doc. Projetons rectangulairement M en N sur le plan M'Om', IV en Q sur la droite OM', et m en n sur Om'. Le chemin polygonal MIVQM' qui conduit de M en M' est ainsi formé de trois

DÉTBRMINÀTIOlf ANALYTIQUE DE LÀ VITESSE. 29

côtés, dont chacun est perpendiculaire aux deux autres; il s'agit de les évaluer. Ou a d'abord

MIV = mn = Om.da = r COS yàa*

Ensuite les angles mOn et MON étant infiniment petits, les projections On et OX ne diffèrent de Om et OM que par des infiniment petits du second ordre ; les triangles OnN et OmM peuvent donc être considérés comme égaux. Ainsi l'on a

OIV = 0111 = r; angle lVOii= MOm = y; angle NOQ = dy ; NQ == O^Ay = rày ;

et par suite

OQ = ON = r, et QM' = OM— r = dr.

Il ne reste plus qu'à substituer ces valeurs dans l'expression de MM'. On obtient

MM'« = MN» + NQ« + QM'a,

ou

d*« == r* COS^ ydo» + r« dy« + dr«,

d'où la vitesse cherchée :

RnuRQUES. io On arrive au même résultat par une transformation auxiliaire des coordonnées du point M, Prenant OL pour

30 CmtMÀTIQUI, SICT. I, CHAP. I.

Taxe des il, Oe pour celui des s et l'axe des y perpendiculaire à Ox dans le plan mOL, on a

X = Oip cos a == r cos y cos oe, y = Cm sin a = r cos y sin et, « = r sin y.

On difFérentie et substitue dans là formule

2" Si Ton fait y = const = , la trajectoire est plane, et l'on retrouve d^^ ^ ^2 ^^a ^ ^,.2,

DU VOUTBMBMT d'uN POINT HBLATIVBBIBNT ▲ UN 8T8TillS

DE COMPARAISON INTARIABLE EN MOUTBMINT.