MODIFICATIONS DBS LIAISONS DE MOUVEMENT

Si les arbres parallèles A et B étaient éloignés l'un de Pautre, on substituerait aux roues dentées des poulies constamment embrassées par trois courroies sans fin. Dans les deux cas, Tarbre B arrive du repos à sa plus grande vitesse, en passant par deux états intermédiaires.

Dans la disposition du numéro iS9, un arbre A supposé horizontal porte trois poulies accolées d'égal diamètre, Tune au milieu qui est folle, une autre à droite a calée sur Parbre, la troisième à gauche b calée sur un canon tournant librement sur cet arbre. Sur ce canon est fixée une roue dentée conique b' indiquée en coupe, et à une certaine distance à gauche, est fixée sur l'arbre même une autre roue dentée conique a'. Ces deux roues engrènent respectivement avec deux autres a'' et b" fixées sur nn arbre B perpendiculaire au premier A. Pour se rendre compte de Teifet du déplacement de la courroie^ qu'on la suppose d'abord sur la poulie a, et lui imprimant le mouvement dans le sens indiqué par la flèche i. L'arbre A et la roue a' participent à cette rotation, et l'arbre B tourne dans le sens de la flèche 2, et la roue b' suivant la flèche 3. Lorsque, au contraire, la courroie mène la poulie b, tous les mouvements changent de sens, et il y a entre ces deux états un temps d'arrêt pendant lequel la courroie embrasse la poulie folle. En changeant de sens la rotation de Tarbre B peut aussi changer de grandeur; il suffit pour cela que le rapport des rayons des roues a' et a" diffère de celui des rayons des roues b' et b".

Les remarques de l'article 212 s'appliquent à tous les changements de vitesse obtenus au moyen du déplacement d'une courroie sans fin.

210. Chang^ement de vU<»9se angulaire par Camboars de rayons variables on par poalles étagées. — 140. Courroie Bans fin sur deux tambours de rayons variables. Sur deux axes parallèles tournent deux solides de révolution ou longues poulies embrassées par une courroie sans fin. Les diamètres variant en

278 CINEMATIQUE. SSCI. Il, CH4F. m.

sens inversas sont tels, que, quel que soit le plan perpendiculaire aux axes dans lequel soit placée la ligne-milieu de la courroie, celle-ci^ étant d'une longueur invariable, soit toujours tendue également et suffisamment pour que la rotation d'un des tam« bours entraîne celle de Fautre sans glissement. Un double guide* courroie muni, si Ton veut, de rouleaux et porté par une tige guidée parallèle aux axes, détermine à volonté la position de la courroie et par suite le rapport des vitesses angulaires des deux tambours. Ce rapport variable est inverse du rapport des rayons des cercles actuellement embrassés, la courroie étant supposée inextensible. Le guide- courroie, analogue à la fourche d'embrayage ordinaire, en diffère en ce qu'il doit agir incessamment, sans quoi la courroie, se portant vers le gros bout de chaque tambour, s'y placerait obliquement avec une très-grande tension. Si la courroie est croisée, la condition d'égale tension ou de longueur invariable de cette courroie exige seulement que la somme des rayons correspondants soit constante. Soient en efTet (fig. 139) a la distance C« des axes parallèles, R et r les rayons des cercles actuellement embrassés, I la longueur AB ou A'B' des parties rectilignes de la courroie sans fin, a Tangle ACe ou BeC exprimé par le rapport de l'arc qu'il comprend au rayon, enfin %L la longueur totale de la courroie. On a évidemment

Lz:zl+B(%^a)+r[r:'^a), acos a = ll4-r et f=;asinaj

d'où il suit que a et L sont invariables quand la somme R + f reste constante.

Lorsque la courroie n'est pas croisée cette relation n'existe plus. On a

I,=Z+JI(ic— ai) + ra, icsasina et «— rrsacosa;

trois équations qui déterminent les six quantités a, JL, I, A, r et a quand trois d'entre elles sont connues, ou que Tune de ces données est remplacée par une quatrième relation.

Si, par exemple, on adopte l'hypothèse limite r=: o, et qu'on

suppose a = 1 et <x=-i:, on trouve

jR = cos a = 0,3827, i = sin a =0,9239,

|, = f 4- giç 11 = 1,6753.

Supposons, autre hypothèse extrême, que les rayons il et r soient égaux, et conservons la même distance des axes et la même longueur de la courroie. Soient donc a:^l et 1^=1,6753.

On a alors

a=', / = ! et Lmi+icB,,

d'où

Ainsi, entre les deux cas extrêmes x|ui viennent d'être considérés, la somme des rayons varie de Q,3827 à 0,4298, et n'est par conséquent pas, à beaucoup près, constante,

En conservant les valeurs précédentes de a et de L, et en at-

tribuant à l'angle a diverses valeurs, de -iç à tc, on calcu-

lera très^aisément autant de couples de valeurs de R et de r. Lorsque la courroie est croisée et que par conséquent la somme H+r doit être constante, le rapport des vitesses angulaires devient une fonction simple de l'un des rayons. Soient lu et J^ ees vitesses correspondantes aux rayons r et It : si Ton pose

S80 ginAmatiqob. sbgt* ii^ ghàp. tn<

on a

Dans cette' même hypothèse les deux tambours peuvent être coniques ; ces deux troncs de cônes à axes parallèles ont même angle au sommet, et sont posés en sens inverses, de manière que leurs génératrices les plus éloignées aa' et bb' sont parallèles, de même que les deux plus rapprochées aa et bb. Alors r est proportionnel à la distance de la courroie au sommet du cône auquel appartient ce rayon r.

w Lorsqu'on veut que le rapport — dépende , suivant une

autre loi, de la position de la courroie^ les profils méridiens de tambours doivent être curvilignes» les deux courbes les plus rapprochées aa et bb restant égales et parallèles pour satisfaire à condition R + r=const.

Si, par exemple, on veut que — soit proportionnel à la

distance x de la courroie à un plan fixe perpendiculaire aux axes, on posera

1 = - d'où ac=r (jc+a);

par conséquent le profil du tambour ayant la rotation w est une hyperbole équilatère dont l'axe de ce tambour est une asymptote. i41. Deux tambours dont fun est cylindrique. Le tambour conique monté à frottement doux sur un arbre carré ou sur un arbre rond à languette, est lié à une gorge dans laquelle s'engage une fourche qui pousse le tambour à droite ou à gauche, selon qu'on veut diminuer ou augmenter le rapport de la vitesse angulaire du cône à celle du cylindre. La figure indique la position de deux poulies de renvoi P, dont les arbres glissent dans

MODIFICATIONS DBS LIAISONS Dl HOUVSMENT. 281

des coulisses parallèles à Taxe du cylindre ; elles déternoinent les deux plans où se meuvent les parties rectilignes de là courroie sans fin, et font en même temps fonction de poulie de tension = .

142. Poulies étagées. Les deux mécanismes précédents permettent de faire varier, d'une manière continue et pendant la marche, le rapport des vitesses angulaires. Lorsque cette condition n'est pas imposée^ on emploie plusieurs paires de poulies disposées pour être, à volonté^ embrassées par une même courroie. L'inconvénient est le temps d'arrêt nécessaire pour changer sans danger la position de la courroie ; mais l'avantage est que la courroie une fois placée ne tend pas à changer de position, et que Faction continuelle d'un guide-courroie n'est plus indispensable.

^iî. Rapport variable des vltesfiies aB^nlalres d*«B eèae oa d'an plateaa elroalalre et d'aae roulette.— 1 id-Câneet roulette* Un tronc de cône A (fig.^ 33) tourne autour d'une axe fixe; son arbre porte une roue ou une poulie dont le rayon est r; la vitesse angulaire commune au cane et à la roue est w. Une roulette dont le rayon est a touche le cône au point T et tourne avec une vitesse angulaire w' autour d'un axe géométrique aa situé dans un même plan avec l'axe du cône, et parallèle à sa génératrice la plus voisine. Il en résulte que le contact du cône et de la roulette subsiste lorsque l'arbre de celle-ci se déplace longitudinalement. Autour de ce même arbre tourne une roue ou poulie dont le rayon est r', et qui a la même rotation w', sans déplacement longitudinal.

Le rapport des vitesses angulaires w et ii/ dépend de la position variable de la roulette. Soit y^ sa distance TS au sommet du tronc de cône, et soit y Tangle de la génératrice et de l'axe. La vitesse linéaire commune de la roulette et du cône^ en leur point de contact T, est wz et w'a; ainsi

wy8iny=%k/a.

983 ciiifiiiÀTiQus. SKCT. u, ciuPf m.

Pour avoir la relation des cbeoiins éx e( àjç' parcourus pendant le tempa 4(, par deux pointa pri$ sur les cirçonférenoes dont les rayons sont r et r^, il auflSt d'écrire dx;=wr a< et dx^ = tu V d^ , d'où Ton conclut

r^y 5tn Y ^ = ra dx'

el en intégmiit

^ r sin f

de sorte que si l'on considère les espaces x parcourus à partir d'une position déterminée^ par un point quelconque de la circonférence de rayon r, et si Ton assujettit la distance y k être à chaque instant égale à une fonction t{x) de la variable jc,

l'espace x' parcouru depuis Tinstant initial par un point de la circonférence de rayon r\ étant affecté du coefficient constant

ra C

-7—: — , est numériquement égal à rintégrale I t(x)dxy prise

depuis zéro jusqu'à l'instant final

144. Plateau toumaïkt et rmhtte^ Ce mécani$ine peut être considéré comme un cas particulier du précédent. IJo plateau cirQulaire A, supposé bori^ontal, tourne autour d'un axe ver^ tical, ainsi qu'une roue ou poulie dont le rayon est r« I^eur vitesse angulaire commune est it>. La roulette dont le rayon est a s'appuie sur la plateau et tourne autour d'un aj^e géonoé^ trique fixe, horizontal et concourant avec Taiie vertical La vitesse angulaire de la roulette et d'une roue dont le rayon est r est désignée par w\ La distance y de la roulette à Taxe verticales! variable, tandis que la roue / n'a qu*un mouvement simple de rotation.

La vitesse linéaire commune de la roulette et du plateau en leur point de contact T donne l'équation

mycBtu

MODIFICATIONS PES LUISONS m «OWgUBNT. $83

et si dx et dx' sont les cbemiDS parcourus pendant le temps d^ sur les circoqrérences des roues r et r\ on a d;i:=wriif et dx' = wVdt , d'où Ton conclut :

r'ydx = radx' j

et, en intégrant,

formule analogue à la précédente, et donnant lieu à la même interprétation.

Telle est la théorie fort simple du planimètre d'Ernst et du dynamomètre compteur de MM. Poncelet et Morin.

212. Chang^ement de TUes»e par vis sans fin. — 145* Mou^ •' vement hélicoïdal dont la translation change à volonté de sens. Un

arbre^ qui dans la figure est supposé horizontal, tourne continuellement dans un même sens ; il porte une roue dentée calée qui engrène constamment avec une autre roue montée à rainure et languette sur un arbre vertical ; la languette est fixée dans l'œil circulaire de la roue, et la rainure est creusée dans Tarbre, de manière que celui-ci tourne continuellement, mais peut glisser en montant ou en descendant, tandis que la seconde roue, maintenue par un support fixe, reste toujours à la même hau~ teur. Le même arbre vertical est taillé à sa partie inférieuree en vis qui engrène sans fin avec deux roues dentées à axes horizontaux. Celles-ci tantôt tournent librement sur leurs coussinets, et tantôt deviennent iiiomentanément fixes parce que Tune des deux est enrayée par l'ouvrier qui emploie la machine. Dans le premier cas^ si le foret fixé à l'extrémité inférieure appuie sur une pièce de métal ou de bois à percer, Tarbre tourne en descendant à mesure que le trou se creuse : la vis et les deux roues folles où elle est engrenée ne produisent alors

284 cnite ATiQUB. sbgt. ii, chàp. ni,

aucun effet. Hais dans le second cas ces roues, devenant fixes, font la fonction d'un écrou immobile; lavis remonte, entraînant Tarbre vertical dans son mouvement bélicoîdal jusqu'à ce qu'elle soit entièrement hors de Técrou.