COMPOSITION DES VITESSES ET DES CHEMINS ÉLÉMENTAIRES

24. Mouvement relatif. — Un point M ayant un mouvement quelconque dans Tespace^ concevons qu'un système de compa-* raison de figure constante^ formé, par exemple^ des trois arêtes d'un angle trièdre invariable^ se meuve aussi d'une manière quelconque, et supposons qu'un observateur, entraîné à son insu dans le mouvement du système de ces axes, les considère comme fixes. (C'est ce qui nous arrive continuellement dans les questions de mécanique, où nous faisons abstraction du mouvement de la terre.) Cet observateur attribuera au point M un mouvement différent de celui que ce mobile possède réellement. Ce mouvement s'appelle mouvement apparent ou relatifs dans le système de comparaison.

HOUVEMINT RBL4TIF. 3i

En résumé, le mouvement relatif (fun point dans un système de comparaison qui est lui-même en mouvement est le mouvement absolu qu aurait ce point si, le système de comparaison devenant fixe^ les distances du mobile aux points de ce système étaient aux instants quelconques qui se succèdent les mêmes qu'elles sont pendant que le système se meut,

2S. Trajectoire relative. — Connaissant le mouvement absolu d'un point et le mouvement absolu du système de comparaison^ trouver la trajectoire du mouvement du point relqtivein^nt 4 çf système et les positions que ce mobile y occupe à des instants désignés,

Solution g^mpiiique. —Soient M,, M,, M,... les positions successives du point M» et soient

les positions correspondantes du système de comparaison à la fin des temps t^, t^, t^... Il suffit de reporter dans Tune des positions de ce système, la première par exemple, le point M avec les coordonnées relatives qu'il a successivement. On construit ainsi la trajectoire relative M,, m^, m^... dont les points M,, nig, nijj..'. correspondent aux temps f,, f„ f^...

Exemple. Le système de comparaison tourne uniformément autour d'un axe, et le point M a son mouvement rectiligne et uniforme dans un plan perpendiculîrire à Taxe. Prenons ce plan pour celui de la figure 7. Soit O sa rencontre avec Taxe de rotation. Soient M> M\ W,.. des positions successives et équidistantes du mobile. Prenons pour axes du système de comparaison Taxe de rotation projeté en O et le rayon 0]|i qui, à rinstant initial, passe par la première position considérée du mobile. Pendant que celui-ci se transporte en M', en M'^.,., le rayon d'abord en CM ou OA se transporte en OA', OA'', par-*

32 CmfiMATIQiJB. SBCT. I, CHAP. I.

courant dans des temps égaux des angles égaux, puisque, par hypothèse, le système de comparaison tourne uniformément. Cela posé, pour avoir un point de la trajectoire relative^ telle qu'elle serait pour un observateur qui, entraîné dans ce mouvement de rotation^ considérerait le rayon G A comme fixe, il suffit, par exemple, de trouver un point m' qui soit situé par rapport à OA comme M' est situé par rapport à OA'; pour cela, on décrit par le point M' un arc de cercle PW autour de O , puis on fait pW = P'M'. De même on décrit par M" Tare P'W, et Ton fait p'^m'' z= p"M^ Ainsi de suite.

SolaiioB analytique dn même problème em nénéral. —

Soient jc, y, z, les coordonnées variables en fondions du temps du point mobile M rapporté à trois axes fixes Ox, Oy, Oz, supposés rectangulaires. Soient a, 6, c les coordonnées variables relativement à ces axes fixes, d'un point O', origine mobile d'un système de comparaison formé de trois axes O'ji'y O'j', O z', rectangulaires dont les neuf angles avec les trois premiers axes sont comme les coordonnées a, 6, c, des fonctions du temps déduites des données du problème^ c'est-à-dire de la connaissance du mouvement du système de comparaison. Les coordonnées du point M relativement aux axes de ce systènie sont désignées par n', j\ %\ Ce sont les projections rectangulaires sur ces axes OV, oy, OV de la distance O'M^ laquelle ferme le contour polygonal dont les côtés sont x — a, y^-b, z — c. On a donc

jc'==(jc— a) cos (x, x') 4- (y — 6) cos (y, x') + (a— c) cos (z, x'), y = (jc — a) C0S(x, y') + {y-b) COS (y, y ) + (z — c) COS (z, y'), «' = (jc — a) COS (x, z') + (y — b) COS (y, z') + (z — c) COS (z, z').

Ces équations^ qui sont celles du mouvement relatif^ sont les formules ordinaires de la transformation des coordonnées, avec cette différence que les coordonnées a, 6, e et les neuf angles indiqués sont variables. En éliminant le temps, on obtiendrait les

COMPOSITION BBS MOUYEMEIHTS. 33

deux équations qui définiraient analytiquement la trajectoire relative.

Cas particulier au les axes de comparasion se meuvent parallèlement à eux-mêmes, et d'une manière d'ailleurs quelconque. On peut les prendre parallèles aux axes fixes. Ici, comme précédemment^ la figure M,, m,, nij... de la trajectoire relative s'obtient en ramenant le système de comparaison de chacune de ses positions successives à Tune d'elles^ en supposant que dans ce transport il entraîne avec lui la position relative correspondante du point mobile.

Les équations ci->dessus deviennent simplement

Cas plus particulier où le point observe est immobile^ les lignes du système de comparaison se mouvant parallèlement à ellesmêmes. On peut supposer le point immobile à Forigine des axes fixes. Ainsi^ jc = 0, y =0 , 2 = 0, et les équations précédentes se réduisent à x' = — a, y' = — h, z' •=: — c; la trajectoire relative est donc, par rapport aux axes mobiles, diamétralement symétrique à celle que décrit dans Tespace Torigine de ces axes mobiles par rapport aux axes fixes. Si cette dernière trajectoire est plane, il en est de même de l'autre, et elles sont superposables par simple rotation de Tune d'elles dans leur plan commun. Si les deux courbes ne sont pas planes et qu'on en fasse tourner une, de deux angles droits, autour de Torigine fixe et parallèlement à un pl«n passant par cette origine, elles deviennent symétriques par rapport à ce plan.

26. ComposUion des monvements. — On résoudrait par des moyens analogues le problème qui consisterait à trouver le mouvement absolu d'un points connaissant et son mouvement relatif pour un système de comparaison et le mouvement de ce système de

figure invariable* La solution graphique de ce problème se ré-

34 CinteÀTIQUI. gICT. 1, CHAF. I.

duirait, i^ à figurer un nombre suffisant de positions absolues du système de comparaison

0>',y>'., 0>;y>;, 0>»Vm;

2° à y représenter les positions relatives, aux mêmes instants, du * point mobile dont il s'agit : la ligne joignant les points M^, M^, Mj... ainsi obtenus serait la trajectoire absolue de ce mobile. La solution analytique serait exprimée par les équations

JC = a -h x' COS (x', %) 4- y' cos (y', x) + z' COS (z', x), y=:b+ x' COS (x', y) + y' COS (y', y) + z' cos (z', y), z = c 4- jc' COS (x', a) + y COS (y', z) + z' COS (a', z).

qui supposent,

f" Que les trois axes fixes auxquels se rapportent les coordonnées X, yetzy définissant la position du mobile à la fin du temps f, sont rectangulaires;

^^ Que les coordonnées a^ b et c de l'origine mobile G' du système de comparaison^ et les angles des axes ractangulaires O'x', oy et OV avec les axes fixes sont des fonctions du temps déduites de la loi donnée du mouvement du système de comparaison :

3^ Qu'il en est de même des coordonnées x\ y' et «' liées au temps, en vertu de la loi donnée du mouvement relatif du mobile.

Cette question est comprise dans celles qui sont désignées sous le nom de composition des mouvefnents^ et il est d'usage de dire que le mouvement absolu d'un corps se compose de son mouvement relatif dans un système de comparaison, et du mouvement absolu de ce système. On remarquera que, dans les explications qui précèdent , il s'agit seulement du mouvement d'un point et du mouvement d'un système géométrique auquel on le rapporte.

VITESSB RBLATIYE. 35

Après nous être occupés de la trajectoire du mouvement relatif d'un point, nous allons considérer sa vitesse.

27. vuesi^e velMîve. — La vitesse relative, qui est celle du mouvement relatif, est en général différente en intensité et en direction de la vitesse absolue. Cette considération conduit à la question suivante :

Trouver les relations entre la vitesse relative^ la vitesse absolue et le mouvement du système de comparaison»

Soit, à un instant déterminé, \ (fig. 8) la position du point mobile, et soit AV=w une droite représentant en direction et en grandeur sa vitassa absolue.

Soit AP = ^e une autre droite représentant de même la vitesse dvea laquelle le point A, considéré comme point géométrique lié au système de comparaison, est entraîné dans le mouvement de ce système; cette vitesse est appelée vitesse d> entraînement du mobile à l'instant de son passage en A, dénomination expressive que rappelle la notation ve; elle diffère en général de celle d'un autre point pris à volonté et lié au système de comparaison, sauf le cas où le mouvement de celui-ci est tel que tous ses points décrivent des courbes égales et parallèles, et où par conséquent toutes les droites joignant ses points se déplacent parallèlement à elles-mêmes.

Dans un temps infiniment petit àt le mobile principal se transporte en M sur la tangente AV de sa trajectoire, à une distance AM zrzvAf, tandis que le point géométrique A, lié au système de comparaison, est entraîné en A' à une distance AA' = ved^. Donc, l'observateur qui, emporté avec ce système, considérerait le point géométrique A comme fixe, pendant son transport en A', attribuerait au mobile principal un mouvement en vertu duquel celui-ci parcourrait un espace infiniment petit, égal à A'M, pendant le temps dt. Donc, si Ton désigne par vr la vitesse relative de ce mobile à l'instant de son passage en A, on a A'M == vrdt. Les côtés du triangle AMA', égaux respecti-

36 cinéhàtiqub. sect. i, chap. i.

veinent à vàt, vedt et vM, sont donc proportionnels aux vitesses V, vey vr, ce qui détermine l'intensité de la vitesse relative vr = EV.

Quant à sa direction, c'est la limite des positions de la droite A'M à mesure qu'on fait décroître le temps et. C'est donc une parallèle à EV menée par A.

En achevant le parallélogramme AEVR, on conclut : Théorème. La vitesse absolue est représentée en grandeur et en direction par la diagonale d'un parallélogramme dont deux côtés contigus représentent de même j l'un la vitesse d'entraînement, l'autre la vitesse relative. En d'autres termes, la vitesse absolue est la droite AV qui, partant du mobile, aboutit à l'extrémité d'une ligne brisée AEV ou ARV, formée de la vitesse dt entraînement et de la vitesse relative , Pune portée parallèlement à elk-même au bout de Vautre,

28. Composition de deux vitesses. — On voit que la vitesse absolue reste la même, lorsque Ton échange entre elles la vitesse d'entraînement et la vitesse relative. C'est pour cela que ces deux vitesses, dont les grandeurs et les directions contribuent géométriquement de la même manière à produire la vitesse absolue, s'appellent les vitesses composantes, ou simplement les composantes de la vitesse absolue; et cette dernière, considérée en ses rapports avec les deux autres^ s'appelle leur résultante. L'opération par laquelle on trouve la vitesse résultante au moyen de ses composantes, s'appelle la composition des vitesses.

Remarque. On peut se proposer sur les trois vitesses v, vq et vr et sur les angles qu'elles forment entre elles tous les problèmes de la trigonométrie rectiligne, et les résoudre, soit par les procédés graphiques, soit par le calcul.

Si, par exemple, on connaît la vitesse absolue v = AV, la vitesse d'entraînement ve = AE, et l'angle qu'elles forment, on trouve la vitesse relative vr = AR , soit en achevant le triangle AVE et menant AR parallèle et égal à EV, soit en construisant