Composition d'un nombre quelconque de vitesses

Un point ayant une certaine vitesse relativement à un système de comparaison, celui-ci peut avoir lui-méitie un certain mouvement relativement à un autre système également mobile : c'est ainsi qu'on arrivé à ôonsîdéret* une vitesse comme la résultante d'autant de composantes qu'on veut.

Pour le faire comprendre, posons un exemple de trois vitesses composantes. Le centre O de la terre (fig. 10) tourne autour du soleil dans le plan de Técliptique avec une vitesse v'; c'est ce qui constitue le mouvement annuel du globe. L'axe des pôles OIV, emporté avec le centre^ se meut parallèlement à lui-même, et si Ton considère un système de comparaison formé de cet axe mobile et de l'intersection OE des plans de Téquateur et de Técliplique, laquelle intersection se transporte aussi parallèlement à elle-même avec la vitesse v' , un point A de la surface de la terre a» relativement à ce système, un mouvement uniforme de rotation, ce qui constitue le mouvement diurne du globe. Soit v" la vitesse relative due à cette rotation, Vitesse qui dépend de la latitude du point dont il s'agit. Il s'ensuit que^ relativement au soleil et à Téoliptique, la vitesse « de ce point est la résultante de v\ vitesse d'entraînement» et de v'\ vitesse relative.

Supposons maintenant qu'un boulet soit lancé, du point dont nous venons de parler, avec une vitesse apparente v"\ Sa vitesse absolue v, ou plutôt sa vitesse relativement au soleil et à l'écliplique sera la résultante de u, vitesse d'entraînement, et de v'", vitesse relative. Si Tort connaît les vitesses v\ v^' et v'", on en conclura aisément V : en construisant une ligne brisée Ahcïl, formée de AB, représentant i^' en intensité et en direction ; de BC, égalé et parallèle à d", et de CD, égale et parallèle à v'", on aura d'abord AC == le, et éhsUitè AD, résultante de tt, et de v'", égale à V.

COMPOSITION DBS VITESSES. 39

En généralisant ces considérations, on voit ce qu'il faut entendre par la composition d'un nombre quelconque de vitesses, ou par une vitesse résultante de plusieurs autres. L'une d'elles étant prise pour vitesse d'entraînement et une autre pour vitesse relative, on en conclût une vitesse absolue qui , étant prise pour nouvelle vitesse d'entraînement et combinée avec la troisième vitesse composante, donne une nouvelle vitesse absolue; celle-ci, avec une quatrième vitesse coinposante, donne encore une vitesse absolue qui est la résultante des quatre composantes em-ployées; ainsi de suite. Il est facile de reconnaître d'après cela, et par suite du numéro 27^ la proposition générale que voici :

Théorème. £a résultante d*un nombre quelconque de vitesses AB, AC, AD,... AL est en grandeur et en direction une droite AL, quif partant de leur origine commune A, aboutit à l' extrémité d'une ligne brisée AB(],D,... L, formée de l'une des vitesses, par exemple AB, et de toutes les autres transportées en BC, , GjD,4... K,L, parallèlement à elles-mêmes^ et disposées bout à bout, en conservant les mêmes longueurs et les mêmes sens. Cette brisée s'appelle polygone des vitesses.

Par exemple^ la vitesse v d'un point dans Tespace est la résultante des vitesses de ses projections coordonnées sur trois axes concourants; et dans le cas treité au numéro 23, la vitesse v du point 1A dans l'espace est la résultante, i° de la vitesse relative dr

— • sur le rayon vecteur OM, 2<> de la vitesse d'entraînement

dt

da

r C06 y -^ du point considéré comme instantanément fixe en M sur le plan MOm, pendant que ce plan tourne autour de Oz

avec la vitesse angulaire ---, et 3° de la vitesse d'entraîne-

dt

ment — r -^ de ce point, considéré comme fixe sur le rayon

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vecteur OM^ pendant que celui-ci se rapproche de O» avec la vitesse angulaii*e — J-.

dt

52. Remarque sur la simultanéité des vitesses eomposantes, et de la vitesse résultante. — On dit quelquefois

qu'un point esl animé simultanément de plusieurs vitesses ou possède à la fois plusieurs mouvements. C'est une locution abrégée qui ne peut être entendue dans le sens rigoureux, car, à un certain instant, un point n'a réellement qu'un mouvement. C'est dans la considération des mouvements relatifs qu'on trouve la véritable interprétation de cette manière de parler. Ainsi, dans l'exemple du numéro 35, il ne serait pas exact de dire que ce boulet tourne autour du soleil parallèlement à Técliptique^ en même temps qu'il tourne autour de l'axe des pôles, et en même temps encore qu'il quitte son point de départ dans la direction de la bouche à feu. Il aurait le ppemi«r mouvement s'il était en repos sur la terre et que celle-ci ea mouvement autour du soleil ne tournât pas autour de son axe; il aurait le second s'il était immobile sur la tei^e et que celle-ci tournât autour de son axe devenu fixe; il aurait le troisième si la terre était tout à fait immobile.