métlioae ilè Bobervm pdnir le i^iloé des tangfeniMi aux

eotiifbes. — Si une courbe est cotlsidérée comme décrite par un point dont la vitesse soit la résultante de plusieurs autres, il suffit de connaître les directions et les rapports deà vitesses composantes pour en conclure \A direction de la tangente. C'est le principe dé lâ méthode de Roberval, géomètre français du dixseptième siècle.

Exemples. — I. L'ellipse dont on a un point Ht (fig. 4i) et les detix foyers F et f ^ étant supposée décrite par une pointe qui glisse le long du rayon vecteur FM tournant autour de F, soit MV la vitesse relative Suivant le raybri ; la vitesse absolue est rhypoténuse inconnue MT du triangle rectangle MVT, dont le côté VT serait égal à la vitesse d'entraînement dil poitit M, en vertu de la rotation du raybn vecteur FM. Mais on peut considérer aussi la courbe comme décrite par une pointe glissant sur Mf avec la vitesse Mv égale à MV, puisque le Second rayon vecteur décroît autant que Tautre augmente daris le même temps. Donc, Textrémité de la droite représentant la vitesse absolue de M est en T^ point de rencontre des deuK perpendiculaires VT et vT aux rayohs vecteurs.

Les deux triangles rectangles MVT, MvT étarit égaux, il s'ensuil que la tangente MT à Tellipse est bissectrice de l'angle vMV formé par un rayon vecteur et le prolongement de l'autre ; la normale MIV à Tellipse est donc bissectrice de l'angle FMf des deux rayons vecteurs .

IL La même méthode s'appliquerait à la courbe définie par la condition que^ les deux points A et B (fig. 12) étant fixes, les deux rayons vecteurs AM et BM sont dans un rapport constant. La courbe peut être supposée décrite par une pointe traçante qui se meut de M vet'S A sût le ràybn vecteur AM, avec une vitesse représentée par la longueiir MA, tandis que ce même rayon vecteur tourne autour de A. Mais la même courbe peut être simultanément décrite par une pointe traçante qui se mouvrait ëur le fayon BM avec une vitesse représentée par MB

44 CnffiHATIQOB. SECT. I, CHAP. I.

(puisque les deux vitesses relatives sur les deux rayons vecteurs sont proportionnelles aux longueurs de ces rayons, et que Tune d'elles a été, pour simplifier la figure, représentée par MA). En raisonnant comme dans Texemple précédent^ nous voyons que la vitesse absolue du point décrivant est Thypoténuse commune des deu^s: triangles rectangles MAT et MBT; donc, le point de la tangente est à Tintersection des deux perpendiculaires AT et ET (*).

III. On trace d'une manière analogue la tangente MT (fig. 13) à une section conique dont on a un foyer F, une directrice AB et le point M. Le rapport des distances MIV et MF du point M à la directrice et au foyer étant constant^ on voit facilement que la direction de la vitesse ou de la tangente en M passe en T, point de rencontre de la directrice AB et de la perpendiculaire FT, menée par le foyer au rayon vecteur.

Remarque. Certains auteurs, en appliquant la méthode de Roberval à Tellipse^ ont cru^ par inadvertance^ que la vitesse du

{*) On peut être curieux de vérifier que la courbe définie dans Texemple II est une circonférence de cercle^ et que la tangente RIT est perpendiculaire au rayon MO (fig. 12).

1° Soil BQ perpendiculaire à AB, le point Q étant sur la courbe dont il s'agit. Menons QO perpendiculaire à AQ et décrivons la circonférence dont le centre est O et un rayon 0||. Le point M quelconque de cette cif conférence satisfait à la propriété énoncée. En effet, les deux triangles rectangles

OQ OB

et semblables QOA et t|OB donnent — j = — . Or, OQc=OM; donc,

-- — := ■--=» Donc, les deux triangles MOA et MOB ayant un même angle