Rotation simple. Déplacement, vitesse, aeeélération

anipaiatres. — Lorsque trois points, non en ligne droite, d'un système invariable, conservent sans changement leurs distances à deux points fixes de l'espace, il en est de même de tous les

50 CmfiHATIQUE. SECT. I, CHÂP. H.

autres points du système, et l'on dit qu'i7 tmme aukmr de Vaxe fixe déterminé par les deux points fixes, ou qu'il a un moumment de rotation autour de cet axe.

Dans ce cas, tous les points du système se meuvent dans des plans perpendiculaires à Taxe de rotation; ils y décrivent en un même temps des arcs semblables, c'est-^-dire d'un même nombre de degrés^ et par conséquent proportionnels aux distances de ces points à l'axe fixe. Le rapport de chacun de ces arcs à son rayon s'appelle le déplacement angulaire du système dans le temps dont il s'agit. Il est numériquement égal à l'arc décrit pendant ce même temps par un point invariablement lié au système et situé à l'unité de distance de Taxe.

Les vitesses des difierents points du système^ à un même instant, sont par cette raison proportionnelles aux distances de ces points à l'axe de rotation. Le rapport de chacune de ces vitesses au rayon de l'arc décrit par le point qui la possède s'appelle la vitesse angulaire du système, à l'instant dont il s'agit. Ce rapport est numériquement égal à la vitesse linéaire de tout point lié invariablement au système et situé à l'unité de distance de Taxe. Il est d'ailleurs indépendant (26) du choix de Tunité linéaire.

La vitesse angulaire peut être constante, et la rotation est alors dite uniforme; si la vitesse angulaire w est variable, la

quantité —, qui correspond à un instant quelconque et peut

être constante, ou variable, est appelée V accélération angulaire du système à cet instant.

MOUVJSMENT OUELGONQUC PàBAUÈLfi A UN PLAN FIXE.

45. Runlement eyllndriqae. — On se fait une idée nette du mouvement d'un solide parallèlement à un plan, en le considérant comme un mouvement de roulement cylindrique. I magifioas donc qu'un système invariable soit invariablement

ROULEHENT CYLINDRIQUE. 51

attaché à une surface cylindrique à base quelconque, qui roule sans glisser (*) sur une autre surface cylindrique supposée fixe et dont les génératrices rectilignes sont parallèles à celles de la première. Chaque point du système décrit une courbe plane dont le plan est perpendiculaire aux génératrices des cylindres. Si ces deux cylindres sont de révolution et si le point décrivant est sur la surface cylindrique mobile, la courbe plane qu'il décrit se nomme épicycloïde. Elle est une simple cycloïde lorsque, le cylindre mobile étant à base circulaire, le cylindre fixe est remplacé par un plan. Si la surface cylindrique mobile est remplacée par un plan, la courbe plane décrite par un point du système, situé dans ce plan, est une développante de la section droite du cylindre fixe. En général, ce genre de mouvement se nomme mouvement êpicycloidal plan ou roulement cylindrique. Quelles que soient les sections droites des cylindres, la relation qui lie entre elles les vitesses des difi'érents points du système mobile, à un même instant, est facile à apercevoir. En efifet, remplaçons les cylindres par des prismes inscrits à faces trèsétroites et égales (pour plus de simplicité). Les courbes décrites dans ce cas par les points du système en mouvement, pendant un temps très-court, sont des arcs circulaires dont les plans sont perpendiculaires à Tarête actuellement commune aux deux prismes et dont les centres sont sur cette arête ; et les vitesses de ces divers points sont proportionnelles aux distances des points à cette même arête. Ces deux propriétés, étant indépendantes de la largeur des faces des prismes, subsistent par conséquent à la limite, c'est-à-dire dans le cas des cylindres. Donc, dans le

(*) Od compreDd que, par roulement sans glissement d'une surface cylindrique sur une autre qu'elle touche suivant une génératrice, il faut entendre que, si par rua des points de contact on mènc'unrplan perpendiculaire à la génératrice commune, les deux sections droites que ce plan détermine dans les deux surfaces restent constamment tangentes Tune à Taulre pendant leur mouvement relatif, et, de plus, le point de contact se déplace simultanément de longueurs égales sur les deux courbes.

r>2 CINÉMATIQUE. SECT. 1^ CHÀP. II.

mouvement épicycloïdal plan, les directions et les rapports des vitesses sont à chaque instant les mêmes que si Taréte de contact des deux cylindres était fixe à partir de cet instant. C'est ce qu'on exprime d'une manière abrégée, en disant que le mouvement élémentaire du système est une rotation autour de la génératrice de contact, ou encore, que cette génératrice est un axe instantané de rotation.

Remarques. — 1<> Ed réalité^ la génératrice de contact des deux cylindres, à un instant déterminé^ n'est pas fixe. Les points du cylindre mobile qui, à cet instant, sont sur le cylindre fixe n'y restent pas pendant un temps fini, quelque petit qu'il.soit ; mais la vitesse de ces points est nulle (ce qui est différent de la fixité ou du repos (1 5,^**)), parce que, après s'être rapprochés de la surface fixe, ils s'en éloignent immédiatement : ils rebondissent, pour ainsi dire, sur cette surface, et leur vitesse change de sens en passant par zéro. L'arête de contact considérée comme ligne géométrique située sur le cylindre fixe se meut parallèlement à'elle-méme, avec une vitesse qui dépend de la rapidité du mouvement du cylindre mobile.

2* Les arcs décrits, même pendant des temps très-courts, par les divers points du système mobile ne sont pas des arcs de cercle, ni même des arcs ayant même centre de courbure. Par exemple, dans le cas le plus simple, celui d'un cercle roulant dans son plan sur une droite, les points 'de la circonférence décrivent des arcs de cycloïde, tandis que le centre décrit une ligne droite.

On va voir (47) que, réciproquement, lorsqu'un système invariable se déplace parallèlement à un plan fixe, pendant un temps fini, son mouvement, s'il n'est pas une translation ou une rotation effective, est un mouvement de roulement cylindrique.

Pour le démontrer, nous établirons deux propositions préparatoires, et d'ailleurs utiles en elles-mêmes.