ROTATION AUTOUR D*UN POINT FIXE

48. Roulement conique. — Les considérations des numéros 43 et suivants, se rapportant à un solide qui se meut parallèlement à un plan, s'étendent au mouvement d'un solide dont les points conservent leurs distance^ à un point fixe autour duquel il pirouette. Elles peuvent, comme on va le voir, être reproduites dans les mêmes termes^ avec cette différence que les surfaces cylindriques sont remplacées par des surfaces coniques

ROOLBHKNT. CONIQUE. 57

ayant pour sommet le point fixe, et les projections rectangulaires sur un plan sont remplacées par des projections coniques sur une sphère dont le centre est le même point fixe.

Imaginons qu'un système invariable soit invariablement attaché à une surface conique de base quelconque^ qui roule sans glisser sur une autre surface conique, fixe et ayant même sommet que la première. Chaque point du système se meut sur une surface sphérique, dont le centre est le sommet commun des cônes. Dans le cas particulier où les deux surfaces coniques sont de révolution^ la courbe que décrit un point de la swface conique mobile se nomme épicycloïde sphérique. En général, ce genre de mouvement se nomme mouvement épicyclotdal sphé'rique ou roulement conique.

Quelles que soient les surfaces coniques^ la relation qui lie entre elles les vitesses des différents points du système mobile, à un même instant, se reconnaît aisément. En efiet, remplaçons les cônes par des pyramides inscrites à faces trèsétroites et égales (pour plus de simplicité)t Les courbes décrites dans ce cas par les points du système en mouvement, pendant un temps très-court, sont des arcs circulaires dont les plans sont perpendiculaires à l'arête actuellement, comme aux deux surfaces pyramidales, et dont les centres sont sur cette arête. Les vitesses de ces divers points sont donc^ quant à leur direction, perpendiculaires chacune au plan qui contient le poiot considéré et Tarêle commune; et, quapt à lejur grandeur, ces vitesses sont proportionnelles aux distances des points à cette même arête. Ces deux propriétés, indépendantes de la grandeur des. faces des pyramides, subsistent par conséquent dans le cas des surfaces coniques. Donc, dans le roulement conique, les directions et les rapports des vitesses sont à chaque instant les mêmes que si la génératrice de contact des deux surfaces coniques était fixe à partir de cet instant. Cette droite est donc encore un axe instantané de rotation.

Les remarques finales du numéro 43 s'appliquent également

5b CINÉIUTIQUK* SKT. I, CHAP. II.

ici. Les points du système mobile qui sont situés actuellemmt sur l'axe instantané de rotation ont leur vitesse nulle. Le sommet du cône mobile est le seul point de ce système qui soit en repos. Les points géométriques formant à chaque instant la droite de contact ou de roulement des deux cônes se déplacent continuellement, et sur le cône fixe et sur le cône mobile.

Dans ce cas, comme dans celui du roulement cylindrique, les vitesses à un même instant sont toutes parallèles à un même plan perpendiculaire à Taxe instantané de rotation, et les vitessas des points situés dans un même plan passant par cet axe sont perpendiculaires à ce dernier plan.

Etablissons maintenant trois théorèmes analogues à ceux des numéros 44, 45 et 47.

49. Lorsqu'un système invariable se déplace autour d'un point fixe auquel il reste lié, on peut toujours l'amener d'une à une autre de ses positions suceessiires par une rotation effective autour d'un axe passant par ce point. — II suffit, pOUr

le démontrer, d'«^ppliquer le raisonnement du numéro 44 à la projection conique du système sur une sphère dont le point fixe est le centre, les lignes droites de la figure devenant des arcs de grands cercles.

30. Tout mouvement élémentaire d'un système invariable dont un point est sans vitesse est une rotation Instantanée autour 'd'un axe passant par ce point. — C*est une consé-

quence de la proposition précédente.

51. Tout mouvement d'im solide autour d'un point fixe est un roulement conique. — C'est-à-dire que le mouvement fini d'un système invariable dont un point est fixe se réduit à un motih vement épieycloïdal sphérique, La droite, qui occupe les positions successives de faxe instantané de rotation ou des vitesses^ décrit dans r espace un cône fixe^ en même temps qu'elle décrit par rapport au système mobile un autre câne^ qui peut être imaginé rou-

hnt 8an$ glissement sur le premier^ et entraînant aMc /ut k système auquel il serait invariablement lié. La démonstration de cette proposition serait calquée sur celle du numéro 47, en prenant les points O^ O', G",*.. 'à une distance constante du centre fixe de rotation, et en considérant les angles indiqués dans la figure comme des angles dièdres.