CINÉMATIQUE. SECT. I, CHAP. II

mier, un mouvement quelconque, le mouvement que le second système a effectivement dans l'espace est dit composé du mouvement du système de comparaison et du mouvement relatif du second système dans le premier. Nous considérons ici le cas très-simple de deux translations. Il est facile de vpir que^ si tous les points des axes de comparaison ont des vitesses égales et parallèles ve, et que le corps ou système considéré ait en tous ses points des vitesses relatives égales et parallèles Vr, fe mouvement absolu de ce système est une translation^ au moins élémentaire^ dont la vitesse v s'obtient par la composition des vitesses v^et vr (29). Ce théorème s'étend évidemment à un nombre quelconque de translalions se réduisant à une translation unique, dont la vitesse s'obtient par la règle du polygone des vitesses (31).

6t. Composition des vitesses de deux rotations antonr d'axes eoncoarants. — Soient deux axes OA', OA" (fig. 22), qui, avec une troisième droite, par exemple avec la perpendiculaire projetée en O, forment un système invariable de comparaison. Supposons. que son mouvement absolu soit une rotation effective ou seulement instantanée^ autour de la droite OA',avec une vitesse angulaire w\ En même temps^ un autre assemblage invariable, que nous appellerons C (et qu'on peut se représenter comme formant un corps solide réel), par son mouvement relativement au système de comparaison OA'A", tourne autour de OA" avec une vitesse angulaire w". Le point O, que Ton peut considérer comme lié au corps C, étant actuellement sans vitesse, il s^nsuit (54) que ce corps a un axe instantané de rotation passant par O ; c'est-à-dire qu'il y a actuellement une droite liée au corps solide €, dont tous les points ont leurs vitesses absolues nulles , tandis que tous les autres points de ce corps ont autour d'elle une vitesse angulaire commune ti;,. Il s'agit de trouver la situation actuelle de cet axe de rotation, et de plus l'intensité et le sens de cette vitesse angulaire tu,.

Pour fixer les idées^ supposcms i*" que les longueurs OA', OA"

COMPOSITION DBS ROTATIONS CONGOURANTRS. 65

soient proportionnelles aux vitesses anguMres w\ w'\ et les représentent par conséquent moyennant le choix d'une certaine unité ; T que le sens de chaque rotation soit tel que^ si un observateur placé en O dirigeait sa vue, tantôt vers A', tantôt vers A", il verrait les deux rotations se faire dans le sens où nous voyons tourner une aiguille d'horloge (c est le sens que les astronomes appellodt sens direct des rotations, comme celle de la terre autour d'axes qui, partant de points du système solaire^ se dirigent vers la région céleste où se trouve le pôle boréal ; c'est encore le sens de la rotation d'une vis ordinaire qu'on enfonce, etc.).

D'après ces conventions^ les droites OA', OA" seront les axes représentatifs des deux rotations (alignement (*; des axes, sens et grandeurs des vitesses angulaires).

De plus, pour abréger le langage, supposons que le plan A'OA^' soit horizontal.

On voit d'abord que, pour aucun des points du corps € situé hors du plan A'OA", la vitesse absolue résultante des deux vitesses, l'une d'entraînement autour de OA', l'autre relative autour de OA'', ne peut être nulle. C'est donc dans ce plan qu'est Taxe instantané cherché. Pour trouver sa direction et en même temps

(*) Nous croyons utile dMntroduire dans le langage de la science ce inot cUignement^ dont nous précisons ici la signification, ainsi que celle de quelques autres expressions fréquemment employées el se rapportant au même ordre d'idées :

Deux droites parallèles décrites en même sens, dans Tespace^ ont même situation angulaire , parce qu'elles font les mêmes angles avec trois axes coordonnés ;

Deux droites lynitées, situées sur un même axe indéfini, ont même aligne^ mmt^ quels que soient leurs origines et le sens dans lequel chacune d'elles est supposée engendrée ou décrite ;

Deux droiles de même alignement et de même sens ont une même dtrection; elles peuvent difl'érer par Torigine et l'étendue.

Deux droites de même alignement et de sens contraires sont directement ojpposées.

Ot> Çm^MÀTIQUB. 8EGT. 1, CHAB. U. .

la vitesse angulaire absolue du corps M, imaginons élevée, à piurtir de O^ une droite Op, varticirfe, et pai» conséquent psrpeoK dioulaire aux axes OA', OA", et à l'axe oberché. Faisons cette droite égale à Tunîté de longueur^ et^ en la supposant liée invariablement au corps €^ cherchons la vitesse abiolue de son extrémité supérieure. Or, ce dernier point a sa vitesse linéaire d'entraînement égale ^ tu', et représentée par Thorizontale nm', égale et rectangulaire à OA'; ît a sa vitesse linéaire relative égale k w" et représentée par Thorizontale oa'^^ égale et rectangulaire à OA". Sa vitesse linéaire absolue, qui est en môme temps la vitesse angulaire absolue w, du corps C (puisque ce

point o est à une distance égale à Tunité de l'axe de rotation cherché, lequel est dans le plan A'OA" et passe par 0)^est donc représentée par la diagonale çh. L'axe instajitaoé de rolation cherché est donc suivant une droite menée dans le plan A'OA", à angle droit sur ob ; et si sur cette droite on pprte dans Tangle A'OA", comme rindique la figure^ une longueur OB égale à ob, on aura^ pour Talignement^ le sens et la grandeur^ Taxe représentatif de la rQt^tion absolue du corps C. Nous en concluons aisémetU les propositions suivantes :

THÉoafcHB. La droite OB, qui représente^ pour la direction et la grandeur, la rotation résultante tu, de deux rotations concourantes w', w'\ esi la diagonale du parallélogramme A'OA"B construit sur les axes représentatifs des rotations composantes.

Corollaire. — Si M est un point quelconque du corps C^p' sa distance à Vaxe OA', /;" sa distance à M axe OA", p^ sa distance à Faxe OB, la vitesse absolue du point M, résultante des vitesses w'p' et «;"/>'? respectivement perpendiculaires aux plans OA'M, OA"M, est perpendiculaire au plan OBM et égale à w, p^y le facteur w^ étant obtenu comme il vient dPêtre dit.