Composition des vitesses de denx rotations dont les

nxes sont parallèles. — Le corps se mouvant parallèlement à tout plan perpendiculaire aux deux axes, nous savons déjà que ce corps a un axe instantané de rotation qui est paraltèle à ces derniers (45).

1« Si les rotations w' et w" sont de même sens , supposonsles représentées par O'A' et 0"A" (fig. 23). Comme précédemment, pour bien comprendre ce qu'on doit entendre par la composition de ces deux rotations, il faut se figurer que les deux droites O'A' et 0"A" constituent un système invariable de comparaison qui tourne autour de l\ine d'elles, O'A' par exemple, tandis qu'un <5orps C tourne relativement autour de l'autre. Il en résulte que le corps C a actuellement, dans son itiouvement absolu, un axe instantané de rotation et une vitesse angu-

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laire w^ qu'il s'agît de trouver. Toutes les vitesses absolues des points du corps G^ qui sont actuellement dans le plan O'A'A'', sont perpendiculaires à ce plan comme les deux composantes, l'une d entraînement, l'autre relative. Elles sont nulles pour tous les points de la parallèle O^A,, dont les distances a' et a" aux deux axes O'A' et C'A'' satisfont à la condition

wV = wV';

car le premier membre est une vitesse linéaire descendante^

au-dessoQs du plan O'A'A"; le second membre une vitesse ascen-

dante^leur égalité détermine évidemment l'axe instantanéO^A,,

dont la vitesse est nulle.

Pour avoir la vitesse angulaire résultante ou absolue du corps G autour de l'axe O^A^^ il suffit de remarquer que la

vitesse absolue d*un point quelconque M de ce corps, situé dans le plan des axes à la distance x de O^A^ est tout à la fois exprimée w^x et par la somme des deux vitesses composantes w' {x H- a') et w" {x — a"). On a donc

w,x = W (jc -h a') + w" {x — a"),

condition qui, eu égard à la relation w'a' = tu V, est constamment remplie, quelle que soit la distance x, par celte autre relation :

Ainsi, taxe représentatif de la rotation résultante est parallèle à ceux des rotations composantes; il est égal à leur somme et divise leur dktance en deux parties inversement proportionnelles aux rotations composantes,

^ Si les rotations composantes, dont nous désignons les valeurs absolues par w' et w", sont de sens contraires, dans l'intervalle de leurs axes C'A' et CA" (fig. SU) les vitesses composantes sont de même sens; en dehors de cet intervalle et du

COMPOSITIOFT DBS ROTATIONS PÀRALLÈLB8. * 69

côté de la plus petite des deux rotations, l'une des deux vitesses composantes remporte sur Tautre ; en dehors de Tintervalle et du côté de la plus graade vitesse angulaire, la vitesse est nulle pour tous les points du corps € situés sur la parallèle O, A^ , si Ton a

On a d'ailleurs pour un point M, d'après l'observation faite au cas précédent :

d^où, à cause de w'a' = ti/'a'^,

Ainsi, l'axe représentatif de la rotation résultante est encore parallèle à ceux des rotations composantes de sens contraires; ii est égal à leur différence; il est situé hors de leur intervalk, du câté et dans le sens de la plus grande^ et ses deux distances aux axes des rotations composantes sont inversement proportionnelles à celles-ci.

K — Si Ton se donne deux rotations parallèles ti/ et vf, et la distance a de leurs axes, on trouvera la distance a' de Taxe de la rotation résultante w^ à Taxe de la première rotation composante, en remplaçant a'^ dans Péquation w'a^ =znfa" par son expression en a et a\ c'eat-à-dire en posant : i^ Quand les composantes sont de même sens,

n/a'=:ti/'(a — a'), d'où ii'=:-r ;t a ;

2" Quand les composantes sont de sens contraires, w'a! = tiy (a + a'), d'où a! = •— ; a .

70 • ClKtllÀTlQUli* SKCT. i, OUP. U.