Remarqué sut* l'instantanéité de l'axe de la rotation

résultante de deux rotations. — Lorsque le moufement absolu d'un solide résulte de la composition de deux translations tinies, il est lui-même une translation finie. Mais, sauf le cas d'un couple, la composition de deux rotations finies, dont les axes concoufent ou sont parallèles, ne donne lieu qu^à une suite de rotations instantanées autour d'un axe mobile. Cela résulte de ce (\he Taxe instantané de la rotation absolue est à chaque instant dans le plan variable qui contient Taxe fixe de la rotation du système de comparaison et Taxe de la rotation relative.

Un exemple va rendre sensible cette observation, en même temps qu'il confirmera Tidée qu'il faut se faire dé là coiâ^osition de deux rotations.

Une droite ÂB (fig. 26) tourne dans le plan fixe de la figuré âveciïtie vitesse angulaire constante w autour du point A, pendant qu'une autre droite BD a autour du point mobile B une rotation uniforttie w' relativement à AB, de iorte que, lorsque celle-ci a pris lâ|)osition AB,, la droite BD a la position B,D,^ faisant âVec le prolongement de AB un angle qui est à l'angle

B^AB dans le rapport constant — . Le point D décrit une

courbe DD^D^,... dont les normales passent par les centres instantanés O, O,^ O^... La vitesse angulaire absolue de BD, dans ses positions successives, est constamment w -{- w' autour du centre instantané variable. La vitesse absolue du point D varie proportionnellement aux distances OD, 0,D,, O^D^. Enfin, pour appliquer les considérations du numéro 47, portons, à partir de B, des longueurs

BM, = B,0„ BM,=.B,0,, BM, == B.O^...,

formant les angles

DBMi = D,B,0,, DBMj = Dj^B^^O^, DBM, = DjB.Oi...;

7!2 CINfilUTIQUE. SEGT. I, CHAP. II.

nous obtenons ainsi la courbe 01lf,]lf^M,... qui^ en roulant sur la courbe 00,0^0^..., ferait prendre à la droite BD, entraînée avec elle, les positions success^es B,D,, B,D,, B,D,...; et, à cause

w' OA

de rinvariabîlité du rapport — = -t--, ces deux courbes sont

^^ w BO

circulaires.

Si les deux rotations w et w' étaient égales et de sens contraires, la droite BD se transporterait parallèlement à elle-mi$rae, le point B restant sur la circonférence BB,B,... La vitesse commune à tous les points de cette droite serait k;- AB, et à chaque instant perpendiculaire à la position qu'occupe la droite AB.

66. Composition d'une rotation et d'nné translation perpendiewlaire & l'axe de la rotation. — - Le mouvement absoIu

qui, pour un corps G quelconque, résulte de cette composition^ est évidemment parallèle à tout plan perpendiculaire à la rotation, et par conséquent (45) il peut se réduire à une rotation simple, au moins instantanée, si ce n^est effective ou finie, autour d'un axe perpendiculaire à ce mémeplmi.

Pour obtenir cet axe instantané et la grandeur de la rotation, prenons le plan doat noua venons de parler pour celui de la figure 27. Soit Ole point où se projette Taxe de la rotation composante, dont la vitesse angulaire est w. L'axe est supposé dirigé en avant du plan de la figure, de sorte que le sens de la rotation est celui de la flèche w. Soit F= OV la vitesse de la translation, de sorte que la composition de cette translation et de la rotation w signifie que^ si un système de comparaison est actuellement en translation avec la vitesse V, Taxe G en repos dans ce système et entraîné dans son mouvement^ est un axe de rotation autour duquel tourne, relativement au même système de comparaison, le corps G avec la vitesse angulaire w, d'où il suit que la vitesse absolue v d'un point M de ce corps situé à la distance r de Taxe O est la résultante de la vitesse d'entraînement y parallèle à la direction donnée OV, et de la vitesse wr

COMPOSITION d'une EOTATION ET D*UNE TRANSLATION... 73

due à la rotation relative w. Or, parmi tous les points M qu'on peut considérer, il en est dont la vitesse est nulle : te) est le point Oj qui, situé sur la droite menée de O perpendiculairement à OV, en est à une distance x satisfaisant à la condition wxz=zy. Tous les points du corps G ou liés à ce corps, qui sont projetés en 0„ jouissent de la même propriété de vitesse nulle et sont par conséquent sur Taxe instantané de la rotation de ce même corps. Quant à la grandeur de cette rotation, ou sa vitesse angvlaire, il suffit de remarquer que, tandis que dans Fespace absolu, le point O^ est sans vitesse, le point O y a la vitesse v perpendiculaire au rayon x; la vitesse angulaire est donc

— OU w (d'après l'équation ci-dessus wx = r), la même que

celle de la rotation donnée autour de O. De là ee théorème :

Une rotation et une translation perpendiculaire à l'axe de la rotation se composent en une rotatùm instantanéCy unique, égale et parallèle en même sens à la rotation composante; le plan qui contient Vaxe de la rotation résultante et celui de h rotation composante est perpendiculaire à la translation , et la situation du nouvel axe dans^ ce plan est déterminée par la condition que sa vitesse^ résultant des deux mouvements composants, soit nulle.

Réciproquement, sans altération de la liaison des vitesses d'un système solide^ une rotation peut être remplacée par un mouvement composé 1® d^une rotation égale, parallèle en même sens à la première et (Tailleurs située d'une manière quelconque^ et ^ une translation perpendiculaire au plan des deux axes.

En effet, soient G, Taxe de la rotation unique, w sa vitesse angulaire, O le nouvel axe^ x la distance quelconque donnée ; en donnant à la translation F la grandeur wx et la direction due à la rotation tv autour de la rotation O, , on se retrouve exactement dans les conditions de la question directe qui précède ; nonseulement la proposition réciproque est démontrée, mais ta grandeur et la situation angulaire de la translation composante sont déterminées.

74 CmtHÀTIQUE. 8KCT. I^ CHAP; H.

Rettaarqae. — Oq pourrait établir eette dernière proposition mmtàe une conséquence de la propriété d'un couple de rotations (64). Etant donnée la rotation to autour de Taxe 0^^ introduisons dans le corps en mouvement deux rotations autour de Taxe O, ayant toutes deux la môme vitesse angulaire w; l'une de même sens que la rotation autour de O, l'autre de sens opposé. Ces deux rotations égales et contraires ne changent rien i^u mouvement absolu du corps Q. Or, la rotation primitive autour de O, et celle dont Taxe est O et le senseontraive se composent (64) en une translation dont la vitesse est F=tvjty à laquelle se joint autour de Taxe O parallèle à Paxe O, la rotation égale en même sens à la rotation primitive.

67. Comp^Mltlon on rédaetlon Ik deux mouvemeiils amples, au point de vne des vitesses, d'tiit nombre i|aèleoi&qae de mouvoments simples eomposants d'un système liiTa-

piaiiie. ^ Imaginons qu'un tel système possède dans t'espace fixe un mouvement simple (nous appelons ainsi une translation ou une rotation qui peut d^ailleurs n'être qu'instantanée) ; qu'un second système, qu'on peut siJpposer coïncidant actuellenlent avec le premier, ait, relativement avec celui-el pris pour système de comparaison, mi tnouveméiit simple qui, en général, diffère du premier mouvement relatif; que de même un troisième système ait, relativement au deuxième, un trorsième mouvement simple, et ainsi de suite jusqu'à un dernier système invariable, qui est pour nous le corps principal C dont il s'agit de déterminer les vitesses actuelles : c'est ainsi qu'il faut comprendre la composition sous le rapport des vitesses, d'un nombre quelconque de mouvements simples d'un système invariable. D'après ce qu'on a vu au numéro 33, le résultat cherché est indépendant de Tordre dans lequel on dispose les mouvements composants.

Gela posé, une rotation quelconque, prise parmi les mouvements composants peut être (66) remplacée par une autre, égale,

COMPOSlTTOfl Bfi lÔUtlifllBnTS 81IIPLB8 OUfiLGONQUES. ' 75

parallèle^ de même sens, dont ïntie passe en un point M choisi à volonté, pourvu qu'à cette rotation substituée et, pour ainsi dire, transportée parallèlement à elle-même, on joigne une translation qui dépend du choix du nouvel axe de rotation. Concevons donc que ce déplacement soit fait pour tontes les rotations composantes du mouvement d'un même corps, de manière que tous les axes des rotations respectivement égales et parallèles qui leur sont substituées passent par un môme point M lié invariablement au corps. Elles se composent (62) en une seule rotation mdépendatite du choix de ce points quant à sa vitesse angulaire et à la situation angulaire de son axe. Seulement^ eês divers transports des axes de rotation auront donoé lieu à autant de notttelles translations (66) qui, se composant avee les translations primitives, en donneront aussi une seule (60), et eette translation résultante variera en grandeur et en direction, suivant le choix du point M, dont la vitesse absolue est nécessairement celle de la translation unique dont il s'agit, puisque le point M situé sur Taxe de rotation final n'a aucune vitesse due à cette rotation.

En résumé, quels que soient les mouvements simples composants d'un système invariable^ ils peuvent toujours se réduire à une translation commone à un point quelconque Ué au système, et à une rotation indépendante du choix de ce point, et dont Taxé représentatif s'obtient, quant à sa grandeur et à sa situation angulaire, en transportant les axes représentatifs des rotations composantes parallèlement à eux-mêmes, en une même origine, et en les composant alors en un seul.