AXE CENTRAL DU MODYEHEMT

quelconque, sont les mêmes que si, à partir de cet instant, ils étaiefit assujettis à décrire des hélices de même pas autour de cette même droite.

Cet axe remarquable, unique à chaque instant, mais pouvant varier avec le temps, s'appelle Yaxe central instantané du mouvement ou Vaxe imtantané de rotation et de glissement du système.

Si Ton cherche le pas h de la vis fictive ou des hélices dont il vient d'être question, on peut supposer que le mouvement béhçoïdal soit uniforme, c'est-à-dire que les quantités v et tu soient constantes ; et en appelant T le temps d'une révolution, on aura

,, , , Sttv cos a

h:=:V COSU'T, et ^Tt=ZwT, d OU h=Z .

69* • AntFes propriétés de l'axe central du mouvement. — -

i*^ La vitesse due à la translation parallèle à Taxe central étant v,, et la vitesse angulaire autour de cet axe étant w, si Ton appelle u la vitesse absolue d'un point quelconque M situé à une distance jc de Taxe central, cette vitesse u résultante de v^ et de wx, vitesses rectangulaires, est dans le plan mené par M tangentiellement au cylindre de révolution dont Taxe de figure est Taxe central et le rayon x. Cette vitesse a sa projection sur l'axe central égale à la vitesse v^ de la translation commune à tous les points du système. Sa projection sur un plan perpendiculaire

à l'axe central est égale à wx. Sa valeur u = L/'v,^ -+• w^x^

est la même pour tous les points situés à une même distance de l'axe et augmente avec cette distance. Les points situés sur l'axe central sont ceux du corps C qui ont actuellement la moindre vitesse, répondant, dans l'expression générale de u, kx = 0.

^ Si, à partir d'un même point K de l'espace, on imagine menées un nombre quelconque des droites égaies et parallèles

78 CHfâSATIQUB. SICT. I, CHIP. n.

aux vitesses d'un égal nombre de points du corps € à un même instant, les extrémités de ces droites seront toutes dass un même plan perpendiculaire à Taxe central instantané ; el si Ton abaisse du point K une perpendiculaire sur œ plan, elle indicfuera la grandeur et la direction de la translation commune. Pour déterminer le plan dont il s'agit, il suffira de choisir seulement trois vitesses simultanées qui ne soient pas parallèles à un même plan. En se reportant ensuite aux points qui possèdent ces trois vitesses, et en projetant les uns et les autres rectangulairement sur un plan perpendiculaire à la translation obtenue, on déterminera sans diiitulté la position de Taxe central ou de rotation et de glissement.

3° Les points du corps C ou liés à ce corps qui sont à un instant sur Taxe central de son mouvement, peuvent n'y être pins à un autre instant ; la position de Taxe central dans Tespace, la vitesse v,, la vitesse angulaire w, la distance x d'un même point à l'axe sont en général variables avec le temps.

4° Les notions précédentes comprennent éyideniment les ,deux cas particuliers d'une translation instantanée simple^ et d'une rotation instantanée simple. Dans le premier la rotation est nulle ; dans le secopd c*est la translation.

70. Seconde image sensible du mouvement continu 4'iui système inirariable. — Nous avons VU (53) que tout mfiuvçmmt

continu fun système invariable équivaut au rouUv^ent Sfxm glissement d'un cône lié au système, sur un autre cône en translation dans r espace. *

Il faut ajouter ici que ce même mouvement équivaut à celui d'une surface réglée qui. étant liée au système^ toucherait continuellement, suivant une génératrice, une autre surface réglée fixe dans Vespace, sur laqitMe elle roulerait en gHssafit à chaque instant k long de la génératrice de contact des deux surfaces.

En effet, les positions successives dans l'espace, de Taxe instantané de rotation et de glissement, forment une surface réglée,

II® IMAGE DU MQUYKHBNT £0Ki2«U d'i^K SOLIDE. 79

c'est la surface iinmobile; et les positions de ce même gxe instantané, relativement au système ou corps mobile, formeqt y ne autre surfac^B réglée mobile, emportant {e corp^avee elle. A un instant quelconque, ces deux surfaces ont une génératrii^ commune D, Q* est-à-dire deux génératrices D, et D, qui coïncidenl, Tune analogue à Taxe d'un écrou tixe, Tautre analogue à l'axe d'upe vis en mouvement; et la seconde surface glisse sur la première, puisque tous les points de D^ ont dans Talignement d« D, la vitessQ^v. De plus, ces deux surfaces sont tangentes tout le long de leur génératrice commune; car si nous imaginons sur la i^urfaçe réglée (Bobile une seconde génératrice I^« iq^niment proche de D, et devant coïncider après un temps dt avec une seconde génératrice D\ de la première $ui£ioe, et si nous considérons sur ces deux droites D', et D ^ deux points qui vont coïncider, ces deux points ne peuvent être entre eux, à l'instant initial de di, qu'à une distance intîniment petite du second ordre , sans quoi le parcours de cette distance pendant le temps dt donnerait lieu aune vitesse transversale finie qui, combinée avec la vitesse v longitudinale ou de glissement, produis rait une vitesse résultante ayant une différence finie avec cette vitesse v, chose impossible en un point infiniment proche de D,. Cette proposition est, coinme on le voit, une généralisation de deux cas particuliers précédemment traités. Si le corps se meut pendant un temps fini parallèlement à un plan, les surfaces réglées deviennent cylindriques (47). Si le corps pirouette effectivement autour d'un point fixe, ces surfaces sont coniques (51).

7 A . An peint de vue des vitesses, le mouvement quelconque d'un système invariable se décompose en trois translations parallèles à t^ois a^es con<sourantç, et trois rqtation^ autour de trois axes concourant au même point. — Le mouvement du

solide C peut d'abord se décomposer (53 et 67) en une translation cou^mune à un point O lié à c^ corps, et en une rotation autour

80 CmÊMATIQSB. SBCT. I» GB4P. II.

d*un axe passant par ce point. Soit 0\ = v la direction et la grandeur de la vitesse de la translation. Si par O on mène trois axes, Ox, Oy, 0«, on peut décomposer OV en trois vitesses vjij vy, vt, qui sont, suivant les axes, les arêtes contîguës d'un paralléiipipède dont v ou OV est la diagonale. Ainsi, la translation représentée par OV est remplacée par trois translations dont les vitesses sont égales et parallèles à vz^ vy, vz. Reste à considérer la rotation autour d'un axe passant par O et représentée par Taxe OA = w. En menant par O trois axes Ox\ Oj\ Oz', qui peuvent en général être différents des trois premiers, on pourra décomposer OA ou w en trois rotations en wxs wy, ws^, autour de ces axes^ lesquelles seront les arêtes contiguës suivant Ox', oy et Oz', d'im paralléiipipède dont w est la diagonale. C'est ce qui démontre la proposition. En voici le corollaire. Si, dans le système dont il vient d'être question^ Ton considère un point M dont la distance à Taxe OA soit p et dont les distances aux axes Ox', Oy' et Oz' soient $', »' et Ç', la vitesse absolue du point M, qui est la résultante des deux vitesses v et pw^ dont la première est parallèle à la vitesse du point O^ et la seconde est perpendiculaire au plan MO A, est aussi la résultante des six vitesses vx, vy, vz,tOx'$^ Wy^yj', lOz^Ç', dont les trois premières sont parallèles aux axes Ox, Oy, Oz, et les trois autres sont perpendiculaires aux plans MOx', MOy', MOz'. Ce corollaire doit achever de faire bien comprendre la signification du théorème précédent.

72. Cas oli les deux systèmes d'axes coneonyants sont reetangnlaires et se eonfondent. — Si les troîs axes Ox, Oy , Oz,

sont rectangulaires et se confondent avec Ox', Oy, Oz', on a les trois translations composantes

Vx = v cos (v, x), t;y = V COS (Vy y), Vz = i; cos (v, z),

et les trois rotations composantes

ti^x :^ w cos (w, x) , wjz=zw cos (w, y), Wjb = w cos {w, z).

«OUYBMBIIT RELATIF DB DBOX SOLIDES. Si

Si le point O était actuellement sur Taxe central du mouvement du corps, les trois premiers cosinus auraient les mêmes valeurs absolues que les trois derniers, mais seraient de même signe ou de signes contraires.

75. DéeompoaltioB du ehemin élémentaire déorit par un qneieanqne des points du système invariable en mouvement.

— La remarque du numéro 35 s'applique à cette question. Ainsi, le chemin élémentaire absolu du point M se décompose en^ i"" véty dû à la translation commune, c'est-à-dire à la vitesse v du point O pris arbitrairement dans le système, et !2^ pwAt, dû à la rotation du système autour de OA , ou bien il se décompose en trois chemins v^àt, vydi, v^àt, parallèles aux axes Ox, Oy, Oa, et trois chemins wx'Ç'd#, Wyfyj'df, w^'Ç'df, dus aux rotations autour de Ox', Oy', Oz'.