MonTement relatif de deux corps qat se (onehent es

un point. -» Lorsque deux corps solides, en mouvement relatif, sont constamment en contact, divers cas sont à distinguer, suivant qu'ils sont supposés se toucher en un point ou en plusieurs.

6LISSSIIENT m PByx f^iim^ 83

i* S'il3 xiQ se louchant qu'en un point, çt que ce point appar* tenant à I^ fois ayx deux surfaces soit invariable sur chacune d'elles, le mouvemenl de Tun des corps relativeinent à Tautre est évidemment une rotation sphérique autour du point de contact.

S^" S'ils se touchent eonstaïqment en uq point, (nais de manière qu'un point invariable sur Tun des corps vieone successivement coïncider avec différents points de la surface de Vautre corps, il y a entre eux un glissement simple. L'arc 4^, décrit dans le temp^ àt, par le point du premier corps, sur la surface

du second, est Varc élémentaire du glissement. Le quotient —

est la vitesse de glissement ^ la fin du temps /,

S"* Si le contact, unique à chaque instant, se déplace sur les surfaces des deux corps, il convient de considérer sur chaque surface le lieu géométrique des points qui coïncident successivement avec l'autre surfacç. Hf et M, ((ig. 30), étant les deux points qui SQ confondent actuellement, et les deux lieux géométriques étant MS et M^IV,, ces deux çoyrbes sont tangentes en M ou U^ au plan tangent commun aux deux surfaces. En d'autres termes, chacun a sa tangente dans ce plan. Les deux tangentes peuvent ou coïncider ou se couper. Or, si les deux lieux géométriques, MIV et M|]V^, du QQUtact ont à chaque instant la même tangente^ et si^ de plus, les arcs de ces deux lignes parcourus simultanément par le contact sont égai^^ il y a roulement simple de chacun des corps sur l'autre. La vitesse du point en contact de l'un des corps relativement à l'autre est nulle (43), et par conséquent lé mouvement du premier corps relativement au second est une rotation instantanée autour d'un axe passant par le point de contact MM^.

i^ Si^ les deux lieux géométriques ayant même tangente^ les arcs simultanés MN et M^K^ (fig. 31), ou es et «u^ sont inégaux, la situation relative des deux corps, à la fin du temps d^, est la môme que si la courbe MlV commençait par rouler sans glisser

84 CmÉHÀTIQCE. SBGT. I^ CHAP. II.

sur M^N, jusqu'à ce que le point IV eoïncidât avec cette seconde courbe, et si ensuite Tare MS se transportait par glissement en If'N^ Dans ce cas, qu'on peut considérer comme présentant un roulement et un glissement simultanés dans un même plan, nous dirons qu'il y a glissement mixte tangentieL L'arc de glissement élémentaire pendant df est la différence ds^ — ds; et attendu que les distances des points N et M ' à la courbe M^ N^ sont des infiniment petits du second ordre, l'arc de glissement ds^ — dj est égal à la distance NX, qu^ont au commencement de dt les deux points qui doivent coïncider à la fin de ce temps, ou bieo encore cet arc de glissement est égal à la distance M^M ' qu'auront à la fin de dt les deux points M^ et M qui coïncident au commencement. Par conséquent, la vitesse de glissement

, .. > d*. — d« MM' , . , , .. .

égale à ,^ — ou ^ — -- est précisément la vitesse du

dt dt

point M de la courbe MN, relativement à Pautre courbe M^IV^.

S^* Enfin, si les deux lieux géométriques n'ont pas la même

tangente, il y a glissement mixte angulaire. L'arc de glissement

élémentaire pendant le temps dt est la distance NN^ (fig. 32)

qu'ont au commencement^les points N et N^ qui coïncideront

à la fin. C'est donc

J/ d^a + d*,a — 2d*d*, cos a,

l'angle oc étant actuellement celui des deux tangentes en M et en M,. La vitesse de glissement s'exprime par

fonction de, l'angle « et des vitesses avec lesquelles le contact se transporte relativement aux deux corps. Dans ce cas, comme dans les deux précédents, les deux points N et N^ ne sont qu'à des d'stances infiniment petites du second ordre du plan tan-

GUSSBMBNT DK DEUX SOLIDES. 85

gent en M, et la vitesse de glissement est la vitesse relative du point M de la courbe MX relativement à la courbe MiIV,. La dernière formule renferme, comme cas particuliers, les ré-

sultats précédents^ suivant qu'on fait — = et -^-1 = ,

ou seulement -7 = 0, ou a = et ~ = -rf» ou enfin seulement a = 0.

76^ Howeineiit relatif de deux eorps qnï se toaeheiit en

piusieim points. — Ce mouvement peut toujours se ramener (74) à ce qui serait le mouvement absolu de l'un des corps pendant que l'autre serait immobile ; raisonnons donc dans cette hypothèse, plus simple à concevoir. En tout point de contact, la vitesse du corps mobile, si elle n'est pas nulle, est évidemment dirigée dans le plan tangent commun aux deux surfaces. Trois cas sont alors à distinguer : l'un des corps étant fixe^ Tautre peut étre^ à un certain instant, en translation simple, ou en rotation simple, ou en mouvement composé d'une translation et d'une rotation.

i^ Translation simple. — Dans ce cas, toutes les vitesses de glissement aux points de contact sont égales et parallèles. Les plans tangents en ces points sont parallèles à la translation.

2» Rotation simple. — Si l'un des points de contact des deux corps est sur Taxe instantané de rotation du corps mobile^ la vitesse de celui-ci en ce point étant nulle, il y a en ce même point roulement sans glissement. Si plusieurs points jouissent de cette propriété , ils sont par conséquent en ligne droite. Si les deux corps se touchent en des points situés hors de l'axe instantané de rotation du corps mobile^ la vitesse de glissement en un point de contact, n'étant autre que la vitesse du corps mobile en ce point, est égale au produit top de la vitesse angulaire w de ce corps, multipliée par la distance;? du point considéré à Taxe instantané de rotation.

86 CIRtllAtIQU>. SICt. 1, CËAT. U.

3<* Mmxûenmnt composé. ^^Le corps ayant dans ce cas un axe central dé modYénient, aucun de ses points n*a sa vitesse nulle. Ceux qui sont stir cet axe sont aussi ceux qui ont la moindre vitesse^ dirigée suivant l'axe. Les points du corps mobile qui sont en contact avec le corps fixe, et en même temps situés sur Taxe central^ sont par conséquent en ligne droite et ont la moindre vitesse du glissement dirigée suivant cette droite. Si les deux corps se touchent en des points situés hors de l'axe central, la vitesse de glissement en un point de contact n'étant, nous le répétons, que la vitesse du corps mobile en ce point, est la résultante de deux vitesses rectangulaires, savoir : la vitesse v, due à la translation parallèle à l'axe central, et la vitesse wp, due à la rotation autour de cet axe.

Nous verrons bientôt des applications importantes de cette théorie.